微分法の不等式への応用(2)の続き
右図のように例えば、下に凸な曲線
上の1点で接線
が引かれているとき、接点
以外の点では全て、曲線は接線の上側に来ます。
従って、
であれば、
です。
例4．n個の正数
について、相加平均・相乗平均の不等式：
を証明する。
[証明] 
，
，･･･，
となるような、
を考えます。
は、
より下に凸な関数です。
従って、
における接線は、接点
を除いて、曲線
の下側に来ます。
における、
の接線は、
より、
これより、
です。
より、
より、
･･････
より、
以上を辺々加えると、
(∵ 
)
∴ 
∴ 
(証明終)
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