漸近線 関連問題
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曲線
について、
または、
のとき、曲線上の点と直線との距離→0 となるような直線があれば、この直線を漸近線と言う。
曲線
が漸近線
をもてば、
または、
とするとき、
，
が成り立つ。
[証明] 漸近線の定義より、
または、
のとき、
･･･①
よって、
だから、
，つまり、
また、①より、
(証明終)
上記の結果を用いて、漸近線を求めることができます。
まず、
のときの、
の極限値を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線の傾きmです。発散してしまう場合には、漸近線は存在しません。漸近線の傾きmが求まったら、
の極限値を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線のy切片nです。発散してしまう場合には漸近線は存在しません。
注．上記で、
の極限値が求まっても、
の極限値が存在しないことがあり得ます。例えば、
では、
のとき、
ですが、
です。
例．曲線：
の漸近線を求める。
[解答] まず、曲線の方程式を陽関数の形(
の形)に直します。
yについて整理すると、
yに関する2次方程式と見て解くと、
∴ 
のとき、
よって、漸近線の傾きは、
，または、
傾きが
のとき、
(以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、
よって、y切片は0で、漸近線は、
傾きが
のとき、
(以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、
(
のとき、
なので、根号部分をxで割ると、符号が逆になることに注意)
よって、y切片は2で、漸近線は、
よって、与えられた曲線は2本の漸近線をもち、
，
......[答] (右図参照、黒線が曲線：
，緑線が漸近線)
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