条件付き確率 関連問題
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袋の中に赤球3個、白球2個を入れて、1個を取り出すとき、赤球を取り出す確率は
，白球を取り出す確率は
です。色を確認し、取り出した球を戻すことなく、1回目赤球なら白球を1個、白球なら赤球を1個加えて、再度取り出すと、赤球を取り出す確率、白球を取り出す確率は、1回目に赤球を取り出したのか、白球を取り出したのか、によって異なる値になってしまいます。
1回目に赤球を出すと、赤球は2個、白球は3個になり、2回目に赤球を出す確率は
，白球を出す確率は
です。
1回目に白球を出すと、赤球は4個、白球は1個になり、2回目に赤球を出す確率は
，白球を出す確率は
です。
2回目に赤球を取り出す確率は、
です。
1回目に赤球を取り出す事象をA，2回目に赤球を取り出す事象をBとすると、1回目に赤球を出したという条件の下に2回目に赤球を取り出す確率
は、
で、2回目に赤球を取り出す確率
とは異なる値です。
このとき、1回目に赤球を取り出す確率
，1回目に赤球を取り出してかつ2回目に赤球を取り出す確率
との間に、
という関係が成り立っています。
以上のように、事象Aと事象Bが起こるときに、事象Bが起こる確率
と、事象Aが起きた上で事象Bが起こる確率
とを区別して、
を、事象Aが起きた上で事象Bが起こる条件付き確率と言います。事象Aが起こる確率を
，事象Aが起きてかつ事象Bが起こる確率を
として、
上記の例では、
，
で、
ですが、
が成り立ち、
となるとき、事象Aと事象Bは独立である、と言います。
事象Bの起こる確率が事象Aの起こる確率に影響されない、ということを意味します。
例えば、別の2つの袋、袋1と袋2があり、袋1の中に赤球3個、白球2個が入っていて、袋2の中に赤球4個、白球3個が入っていて、袋1の中から1個を取り出し、袋2の中から1個を取り出すとき、袋1から赤球を取り出す事象をA，袋2から赤球を取り出す事象をBとして、取り出した2個の球がともに赤球である事象
の確率
は、事象Aの確率を
，事象Bの確率を
として、
となります。事象Aと事象Bが独立だからです。
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