センター数学IA '06年第4問　
袋A，B，C，Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A，B，C，Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれa，b，c，dとする。
(1) a，b，c，dの最大の数が3以下である場合は通りあり、最大の数が4である場合は通りある。
(2) a，b，c，dについて、となる場合は通りある。
(3) 出た数a，b，c，dによって、次のように得点を定める。
　　　のときは、点
　　　それ以外のときは、0点
　(i) 得点が1点となる確率はであり、得点が4点となる確率はである。
　(ii) 得点の期待値は点である。


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解答　(1) 最大の数が3以下であるのは、各袋から取り出される数が、1か、2か、3の3通りのどれかに限られるときです。
各袋3通りずつで、各袋のどの1通りについても、他の袋は3通りのどの数もあり得ます。
a，b，c，dの最大の数が3以下となる場合は、通り(場合の数を参照)。
よって、[アイ]は81
4つの袋から出る数の出方は全部で、通り。このうち最大の数が4となるのは、最大の数が3以下の場合の81通りを除いた、通り(場合の数の技巧を参照)。
よって、[ウエオ]は175

(2) dが1から4のどの数であっても、となるのは、a，b，cについて、

のいずれかの場合だから、a，b，c，dについて、となる場合は、通り。
よって、[カキ]は16

(3)(i) 得点が1点となるのは、のときで、このときより、
これが1から4まで、4通りあります。得点が1点となる確率は、
よって、[ク]は1，[ケコ]は64

得点が4点となるのは、のときで、このとき、より、，です。b，cについて、より、

　
　
の10通り。得点が4点となる確率は、
よって、[サ]は5，[シスセ]は128

(ii) 得点が2点となるのは、のときで、a，dについて、

の3通りあります。
例えば、，のとき、b，cについて、より、

の3通りで、の3通りのどの1通りについても、の3通りがあり得るので、a，b，c，dについて、通り。
得点が2点となる確率は、
得点が3点となるのは、のときで、a，dについて、

の2通りあります。
例えば、，のとき、b，cについて、より、

の6通りで、の2通りの各々についても、の6通りがあり得るので、a，b，c，dについて、通り。
得点が3点となる確率は、
得点の期待値は、

よって、[ソタ]は49，[チツテ]は128

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