センター試験数学IA 2007年問題 


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[1][1] 方程式
      ・・・@
を考える。

(1) 方程式@の解のうち、を満たす解は
   
である。
(2) 方程式@の解は全部で個ある。その解のうちで最大のものをαとすると、を満たす整数mである。

[2] 集合AB
  
   
とする。

(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。
自然数がnAに属することは、n2で割り切れるための
自然数が
nBに属することは、n20で割り切れるための
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない
(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。
とする。自然数全体の集合を全体集合とし、その部分集合Gの補集合をで表すとき
である。
     
     
[解答へ]


[2] aを定数とし、x2次関数
      ・・・@
のグラフを
Gとする。
(1) グラフGが表す放物線の頂点の座標は
   
である。グラフ
Gx軸と異なる2点で交わるのは
   
のときである。さらに、この二つの交点がともに
x軸の負の部分にあるのは
   
のときである。


(2) グラフGが表す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする。
このとき、aの値の範囲は
   
であり、
2次関数@のにおける最大値M
   のとき
   
   のとき
   
である。
したがって、
2次関数@のにおける最小値が6であるならば
   
であり、最大値
M
   
である。
[解答へ]


[3] において、とする。また、の外接円の中心をOとする。
(1) このとき、であり、外接円Oの半径は
   
である。
(2) Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。の面積をの面積をとするとき
      ・・・@
であるとする。であるから
   
となる。このとき
   
である。
さらに、
2ADBCの延長の交点をEとし、の面積をの面積をとする。このとき
      ・・・A
である。@とAより
   
となる。
[解答へ]


[4] 1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a)(b)(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。
(a) 頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(1) 3回進めたとき、点Pは正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は通りである。
3回進める間に、点P1回も頂点Aにとまらない目の出方は通りである。

(2) 3回進める間に、点P3回とも頂点Aにとまる確率はであり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率はである。
3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率はである。

(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は回である。
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