センター試験数学IA 2007年問題
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[1][1] 方程式
・・・@
を考える。
(1) 方程式@の解のうち、を満たす解は
である。 (2) 方程式@の解は全部で個ある。その解のうちで最大のものをαとすると、を満たす整数mはである。
[2] 集合A,Bを
とする。
(1) 次のとに当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。 自然数がnがAに属することは、nが2で割り切れるための。
自然数がnがBに属することは、nが20で割り切れるための。 必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない (2) 次の〜に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。 とする。自然数全体の集合を全体集合とし、その部分集合Gの補集合をで表すとき である。
[解答へ]
[2] aを定数とし、xの2次関数
・・・@
のグラフをGとする。
(1) グラフGが表す放物線の頂点の座標は
である。グラフGがx軸と異なる2点で交わるのは
のときである。さらに、この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるのは
のときである。
(2) グラフGが表す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする。
このとき、aの値の範囲は
であり、2次関数@のにおける最大値Mは
のとき
のとき
である。
したがって、2次関数@のにおける最小値が6であるならば
であり、最大値Mは
である。 [解答へ]
[3] において、,,とする。また、の外接円の中心をOとする。
(1) このとき、であり、外接円Oの半径は
である。 (2) 円Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。の面積を,の面積をとするとき ・・・@
であるとする。であるから
となる。このとき
である。
さらに、2辺AD,BCの延長の交点をEとし、の面積を,の面積をとする。このとき
・・・A
である。@とAより
となる。 [解答へ]
[4] 1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a),(b),(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。
(a) 頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(1) 3回進めたとき、点Pは正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は通りである。 3回進める間に、点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方は通りである。
(2) 3回進める間に、点Pが3回とも頂点Aにとまる確率はであり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率はである。 3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率はである。
(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は回である。 [解答へ]
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