センター試験数学IA 2008年問題 


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[1][1] 長方形ABCDにおいて、とする。辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CD上に点R
   
となるようにとり、とおく
()。このとき、台形PBCRの面積はである。また、△PQRの面積S
   
である。となる
xの範囲は
   
である。


[2] 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

自然数mnについて、条件pqrを次のように定める。

p2で割り切れる
qn4で割り切れる
rm2で割り切れ、かつn4で割り切れる

また、条件pの否定を,条件rの否定をで表す。このとき

prであるための
であるための
pかつq」はrであるための
pまたはq」はrであるための

 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない
[解答へ]


[2] abを定数とし、とする。2次関数
    ・・・@
のグラフが点を通るとする。
このとき、
   
であり、グラフの原点の座標を
aを用いて表すと
   
である。
さらに、
2次関数@のグラフの頂点のy座標がであるとする。
このとき、
a
   
を満たす。これより、
aの値は
   
である。
以下、であるとする。
このとき、
2次関数@のグラフの頂点のx座標はであり、@のグラフとx軸の2交点のx座標はである。
ただし、は解答の順序を問わない。
また、関数@はにおいて

のとき、最小値をとり
のとき、最大値をとる。
[解答へ]


[3] △ABCにおいて、とする。
また、△
ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、であり、外接円
Oの半径はである。
外接円
O上の点Aを含まない弧BC上に点Dであるようにとる。であるから、とするとx2次方程式
   
を満たす。であるからとなる。
下のには、次ののうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。


AC  AD  AE  BA  CD  ED

Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、であるから、△ACEと△は相似である。
これより、
   
である。また、である。したがって
   
であり、△
ACEの面積はである。
[解答へ]


[4] さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

1回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字Aを書く
・出た目の数が34のときは、文字Bを書く
・出た目の数が56のときは、何も書かない

2回目、3回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字の列の右側に文字A1つ付け加える
・出た目の数が34のときは、文字の列の右側に文字B1つ付け加える
・出た目の数が56のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする

以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。

(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである。
文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである。

(2) 文字の列がAとなる確率はであり、何も書かれていない文字の列となる確率はである。

(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり、字数が2となる確率はである。また、文字の列の字数の期待値はである。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。
[解答へ]



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