センター試験数学IA 2008年問題
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[1][1] 長方形ABCDにおいて、,とする。辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CD上に点Rを
となるようにとり、とおく()。このとき、台形PBCRの面積はである。また、△PQRの面積Sは
である。となるxの範囲は
である。
[2] 次の〜に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 自然数m,nについて、条件p,q,rを次のように定める。p:は2で割り切れるq:nは4で割り切れるr:mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる
また、条件pの否定を,条件rの否定をで表す。このとき
pはrであるための。
はであるための。
「pかつq」はrであるための。
「pまたはq」はrであるための。 必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない [解答へ]
[2] a,bを定数とし、とする。2次関数
・・・@
のグラフが点を通るとする。
このとき、
であり、グラフの原点の座標をaを用いて表すと
である。
さらに、2次関数@のグラフの頂点のy座標がであるとする。
このとき、aは
を満たす。これより、aの値は
である。
以下、であるとする。
このとき、2次関数@のグラフの頂点のx座標はであり、@のグラフとx軸の2交点のx座標は,である。
ただし、,は解答の順序を問わない。
また、関数@はにおいて
[解答へ]
[3] △ABCにおいて、,,とする。
また、△ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、であり、外接円Oの半径はである。
外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点Dをであるようにとる。であるから、とするとxは2次方程式
を満たす。であるからとなる。
下のには、次の〜のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
AC AD AE BA CD ED
点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、であるから、△ACEと△は相似である。
これより、
である。また、である。したがって
であり、△ACEの面積はである。
[解答へ]
[4] さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。
1回目は次のようにする。
・出た目の数が1,2のときは、文字Aを書く
・出た目の数が3,4のときは、文字Bを書く
・出た目の数が5,6のときは、何も書かない
2回目、3回目は次のようにする。
・出た目の数が1,2のときは、文字の列の右側に文字Aを1つ付け加える
・出た目の数が3,4のときは、文字の列の右側に文字Bを1つ付け加える
・出た目の数が5,6のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする
以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。
(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである。 文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである。
(2) 文字の列がAとなる確率はであり、何も書かれていない文字の列となる確率はである。
(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり、字数が2となる確率はである。また、文字の列の字数の期待値はである。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。 [解答へ]
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