センター数学IA '09年第4問
さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。
(1) 1の目が出たところで終了する目の出方は
通りである。 2の目が出たところで終了する目の出方は
通りである。3の目が出たところで終了する目の出方は
通りである。4の目が出たところで終了する目の出方は
通りである。
(2) 投げる回数が1回で終了する確率は
であり、2回で終了する確率は
である。終了するまでに投げる回数が最も多いのは
回であり、投げる回数が
回で終了する確率は
である。終了するまでに投げる回数の期待値は
である。
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解答 場合分けの洩れや数え違いなどのケアレスに充分注意してください。
(1) 1の目が出たところで終了するのは、1の目が出る前に合計が3になっていた、ということです。そうなる目の出方は、
，
，
，
の4通り ･･･① です。 (ア) 4 ......[答]
2の目が出たところで終了するのは、2の目が出る前に合計が2または3になっていた、ということです。合計が3になる①の4通りに加え、合計が2となる目の出方、
，
の2通りを加えて、6通り。 ･･･②(イ) 6 ......[答]
3の目が出たところで終了するのは、3の目が出る前に合計が1または2または3になっていた、ということです。合計が2または3になる②の6通りに加え、合計が1となる目の出方、(1)の1通りを加えて、7通り。 ･･･③(ウ) 7 ......[答]
4の目が出たところで終了するのは、③の7通りに加え、最初に4が出た1通りを加えて、8通り。(エ) 8 ......[答]
(2) 投げる回数が1回で終了するのは、最初に4か5か6が出た場合で確率は
(オ) 1 (カ) 2 ......[答]
2回で終了するのは、最初に3が出る(2回目は1～6の何でもよい、確率は
)か、最初に2が出て2度目に2～6が出る(確率は
)か、最初に1が出て2度目に3～6が出る(確率は
)か、であって、その確率は、
(キ) 5 (ク) 1 (ケ) 2 ......[答]終了するまでに投げる回数が最も多いのは、1回目から3回目に
と出る場合(4回目は1～6の何でもよい)で、その確率は、
(コ) 4 (サ) 1 (シ) 2 (ス) 1 (セ) 6 ......[答]
3回で終了する確率は、
終了するまでに投げる回数の期待値は、 (ソ) 3 (タ) 4 (チ) 3 (ツ) 2 (テ) 1 (ト) 6 ......[答]
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