センター試験数学IA 2011年問題
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[1][1] ,とすると
である。このとき、不等式
を満たすxの値の範囲は
となる。
[2] 実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
(1) 次の〜のうち、命題「q ⇒ p」に対する反例になっているのはである。 (2) 命題「p ⇒ q」の対偶は「 ⇒ 」である。 ,に当てはまるものを、次の〜のうちから一つずつ選べ。 かつ
または
かつ
または (3) pはqであるための。 に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 必要十分条件である 必要条件であるが、十分条件ではない 十分条件であるが、必要条件ではない 必要条件でも十分条件でもない [解答へ]
[2] a,b,cを定数とし、,とする。xの2次関数
・・・@ のグラフをGとする。Gがのグラフと同じ軸をもつとき
・・・A となる。さらに、Gが点を通るとき
・・・B が成り立つ。
以下、A,Bのとき、2次関数@とそのグラフGを考える。
(1) Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
, である。さらに、Gとx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。
(2) とする。 における2次関数@の最小値がであるとき、
である。一方、における2次関数@の最大値が3であるとき、である。
,のときの@のグラフをそれぞれ,とする。をx軸方向に,y軸方向にだけ平行移動すれば、と一致する。 [解答へ]
[3] 点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
であるとする。
(1) ,とおくと、△ABCに着目して となる。また、△ACDに着目して
となる。よって、,であり、円Oの半径はである。
また、四角形ABCDの面積はである。
(2) 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると、である。また、線分OEと辺ADの交点をFとすると、であり、 である。
さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに垂線を下ろし、直線OGとの交点をHとする。4点E,G,は同一円周上にある。に当てはまるものを次の〜から一つ選べ。 C,F H,D H,F H,A O,Aしたがって である。
[解答へ]
[4] 1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pはであり、5以上の目が出る確率qはである。
以下では、1個のさいころを8回繰り返して投げる。
(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。 第1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はである。
第1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。
(2) 次の〜のうちに等しいものはとである。ただし、とは解答の順序を問わない。
(3) 得点を次のように定める。
8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合、
について、第n回目に初めて4以下の目が出たとき、得点はn点とする。 また、4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは、得点を0点とする。
このとき、得点が6点となる確率はであり、得点が3点となる確率はである。また、得点の期待値はである。 [解答へ]
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