共通テスト数学IA '21年第1問 

[1] cを正の整数とする。x2次方程式
 ・・・@
について考える。
(1) のとき、@の左辺を因数分解すると
であるから、@の解は
である。
(2) のとき、@の解は
であり、大きい方の解をαとすると
である。また、を満たす整数mである。
(3) 太郎さんと花子さんは、@の解について考察している。

太郎:@の解はcの値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに、解は有理数になるのかな。
花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。

@の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数は個である。

[2] 右の図のように、△ABCの外側に辺ABBCCAをそれぞれ1辺とする正方形ADEBBFGCCHIAをかき、2EFGHIDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において

とする。
(1) のとき、であり、△ABCの面積は,△AIDの面積はである。
(2) 正方形BFGCCHIAADEBの面積をそれぞれとする。このとき、は、
のとき、
のとき、
のとき、
の解答群(同じものを繰り返し選んでよい。)
 0である。
 正の値である。
 負の値である。
 正の値も負の値もとる。
(3) AID,△BEF,△CGHの面積をそれぞれとする。このとき、である。
の解答群
 ならば、
 ならば、
 Aが鈍角ならば、かつ
 abcの値に関係なく、
(4) △ABC,△AID,△BEF,△CGHのうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。
のとき、IDBCであり
(AIDの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は
のとき、である。
のとき、である。
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 <    =    >
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 △ABC   AID   △BEF   △CGH

解答 この問題を正確かつ迅速に仕上げないと、第2問以降の圧倒的迫力に茫然自失することになります。[2](4)は図をきちんと書けば答がわかってしまう?

[1](1) のとき、@は、 ∴
ア 2 イ 5 ウ 2 ......[]
(2) のとき、@は、 ∴
エ 5 オカ 65 キ 4 ......[]
大きい方の解αは、
ク 5 ケコ 65 サ 2 ......[]
よりよって、を満たす整数mは、
シ 
6 .....[]
(3) 会話の中のヒントに書かれていますが、解の公式の根号内(判別式)に着目します。判別式Dは、
異なる二つの有理数解を持つ、ということは、異なる二つの実数解をもつので、よりcは正の整数なので、に限られます。このうち、有理数解となるためにDが平方数になるのは、のときのときのとき3個です。
ス 
3 ......[]

[2](1) より,よって、
セ 4 ソ 5 ......[]
ABCの面積は、
タチ 
12 ......[]
より、△AIDの面積は、
ツテ 
12 ......[]
(2) 余弦定理より、
のとき、より、
のとき、とり、
のとき、より、
ト 
2 ナ 0 ニ 1 ......[]
(3) ABCの外接円の半径をRとして、正弦定理より、 ∴
(1)で見たように、などにより、


よって、abcの値に関係なく
ヌ 
3 ......[]
(4) 余弦定理より、

においてはより、 ・・・A
AID,△ABCの外接円の半径は、正弦定理より、それぞれ、です。よってAより、
(AIDの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
ネ 2 ノ 2 ......[]
より、
Aと同様に、
(BEFの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
(
CGHの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
外接円の半径が最も小さい三角形は、△ABCです。
ハ 
0 ......[]
のとき、なので、Aと同様に、,よって、
(AIDの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
(
BEFの外接円の半径)(ABCの外接円の半径)
一方、余弦定理より、

なので、,△ABC,△CGHの外接円の半径は、正弦定理より、それぞれ、
(ABCの外接円の半径)(CGHの外接円の半径)
外接円の半径が最も小さい三角形は、△CGHです。
ヒ 
3 ......[]



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