共通テスト数学IA '21年第2問 

[1] 陸上競技の短距離100m走では、100mを走るのにかかる時間(以下、タイムと呼ぶ)は、1歩あたりの進む距離(以下、ストライドと呼ぶ)1秒あたりの歩数(以下、ピッチと呼ぶ)に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。

ただし、100mを走るのにかかった歩数は、最後の1歩がゴールラインをまたぐこともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
例えば、タイムが
10.81で、そのときの歩数が48.5であったとき、ストライドはより約2.06,ピッチはより約4.49である。
なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁までにマークせよ。
(1) ストライドをx,ピッチをzとおく。ピッチは1秒あたりの歩数、ストライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、xzを用いて(m/)と表される。
これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は
 ・・・@
と表されるので、が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。
の解答群
         
         
(2) 男子短距離100m走の選手である太郎さんは、@に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は、太郎さんが練習で100m3回走ったときのストライドとピッチのデータである。
 1回目2回目3回目
ストライド2.052.102.15
ピッチ4.704.604.50
また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は2.40,ピッチの最大値は4.80である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが
0.05大きくなるとピッチが0.1小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数で表されると仮定した。このとき、ピッチzはストライドxを用いて
 ・・・A
と表される。
Aが太郎さんのストライドの最大値
2.40とピッチの最大値4.80まで成り立つと仮定すると、xの値の範囲は次のようになる。
とおく。Aをに代入することにより、yxの関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、の範囲でyの値を最大にするxの値を見つければよい。このとき、yの値が最大になるのはのときである。
よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドがのときであり、このとき、ピッチはである。また、このときの太郎さんのタイムは、@によりである。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 9.68    9.97    10.09
 10.33    10.42    10.55

[2] 就業者の従事する産業は、勤務する事業所の主な経済活動の種類によって、第1次産業(農業、林業と漁業)、第2次産業(鉱業、建設業と製造業)、第3次産業(前記以外の産業)の三つに分類される。国の労働状況の調査(国勢調査)では、47の都道府県別に第1次、第2次、第3次それぞれの産業ごとの就業者数が発表されている。ここでは都道府県別に、就業者数に対する各産業に就業する人数の割合を算出したものを、各産業の「就業者数割合」と呼ぶことにする。
(1) 1は、1975年度から2010年度まで5年ごとの8個の年度(それぞれを時点という)における都道府県別の三つの産業の就業者数割合を箱ひげ図で表したものである。各時点の箱ひげ図は、それぞれ上から順に第1次産業、第2次産業、第3次産業のものである。

次ののうち、図1から読み取れることとして正しくないものである。
の解答群
(解答の順は問わない。)
 第1次産業の就業者割合の四分位範囲は、2000年度までは、後の時点になるにしたがって減少している。
 第1次産業の就業者割合について、左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると、どの時点においても左側の方が長い。
 第2次産業の就業者数割合の中央値は、1990年度以降、後の時代になるにしたがって減少している。
 第2次産業の就業者数割合の第1四分位数は、後の時点になるにしたがって減少している。
 第3次産業の就業者数割合の第3四分位数は、後の時点になるにしたがって増加している。
 第3次産業の就業者数割合の最小値は、後の時点になるにしたがって増加している。
(2) (1)で取り上げた8時点の中から5時点を取り出して考える。各時点における都道府県別の、第1次産業と第3次産業の就業者数割合のヒスとグラムを一つのグラフにまとめてかいたものが、次ページの五つのグラフである。それぞれの右側の網掛けしたヒスとグラムが第3次産業のものである。なお、ヒスとグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
1985年度におけるグラフはである。
1995年度におけるグラフはである。
については、最も適当なものを、次ののうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(3) 三つの産業から二つずつを組み合わせて都道府県別の就業者数割合の散布図を作成した。図2の散布図群は、左から順に1975年度における第1次産業(横軸)と第2次産業(縦軸)の散布図、第2次産業(横軸)と第3次産業(縦軸)の散布図、および第3次産業(横軸)と第1次産業(縦軸)の散布図である。また、図3は同様に作成した2015年度の散布図群である。

下の(I)(II)(III)は、1975年度を基準としたときの、2015年度の変化を記述したものである。ただし、ここで「相関が強くなった」とは、相関係数の絶対値が大きくなったことを意味する。
(I) 都道府県別の第1次産業の就業者数割合と第2次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。
(II) 都道府県別の第2次産業の就業者数割合と第3次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。
(III) 都道府県別の第3次産業の就業者数割合と第1次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。
(I)(II)(III)の正誤の組み合わせとして正しいものはである。
の解答群

(I)
(II)
(III)
(4) 各都道府県の就業者数の内訳として男女別の就業者数も発表されている。そこで、就業者数に対する男性・女性の就業者数の割合をそれぞれ「男性の就業者数割合」、「女性の就業者数割合」と呼ぶことにし、これらを都道府県別に算出した。図4は、2015年度における都道府県別の、第1次産業の就業者数割合(横軸)と、男性の就業者数割合(縦軸)の散布図である。

各都道府県の、男性の就業者数と女性の就業者数を合計すると就業者数の全体となることに注意すると、2015年度における都道府県別の、第1次産業の就業者数割合(横軸)と、女性の就業者数割合(縦軸)の散布図はである。
については、最も適当なものを、下ののうちから一つ選べ。なお、設問の都合で各散布図の横軸と縦軸の目盛りは省略しているが、横軸は右方向、縦軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

解答[1]2次関数の応用問題ですが、ここまで凝らなくても、という気がします。[2]は、「数学」の入試問題なんでしょうか?地理か政経か?と思ってしまいます。ですが、もう勘弁して、と言いたくなるほどにしつこく設問が続き、気合いを入れて図を調べないと正解できません。

[1](1) 単位に目を付けると、ストライド(m/)とピッチ(/)をかければ、平均速度の単位(m/)になるので、とわかります。
ア 2 ......[]
(2) 1回目と2回目(この問題では、2回目と3回目でも同じ)で、ストライドに対するピッチの変化率は、とおいて、を代入すると、,よって、ピッチzはストライドxを用いて、
イウ  エオ 44 ......[]
ピッチがのとき、
カ 
2 キク 00 ......[]
ストライドxの範囲は、です。
タイムが最も良くなるのはyが最大のときで、のとき、yの最大値はです。
ケ 
2 コサ 20 ......[]
このときのピッチは、
シ 
4 スセ 40 ......[]
このときのタイムは。,四捨五入して10.33
ソ 3 ......[]

[2](1) は、第1次産業の箱ひげ図の箱の長さがだんだ短くなるので正しい。
は、1990年度、2000年度、2010年度の第1次産業は、右側の方が長いので正しくない。
は、第
2次産業の中央値は、1990年度以降、だんだん左に寄るので正しい。
は、第
2次産業の第1四分位数は、1985年度から1990年度まで右に寄るので正しくない。
は、第
3次産業の第3四分位数は、だんだん右に寄るので正しい。
は、第
3次産業の最小値は、だんだん右に寄るので正しい。
タ 
1 チ 3 ......[]
(2) 1985年度は、第1次産業は026の範囲にあって中央値は13,第3次産業は4570の範囲にあって中央値は54,こうなっているのは、
ツ 1 ......[]
1995
年度は、第1次産業は017の範囲にあって中央値は9で第1四分位数は5,第3次産業は5174の範囲にあって中央値は58で第1四分位数は55,こうなっているのは、
テ 
4 ......[]
(3) (I)は、図2と図3で、第1次産業と第2次産業の図を見ると、1975年度は負の傾きをもつ直線に沿って並び、2015年度はばらばらに散っているので、誤り。
(II)は、第2次産業と第3次産業の図を見ると、1975年度はばらばらに散っているのに、2015年度は傾きが負の直線に沿って並んでいるので、正しい。
(III)は、第3次産業と第1次産業の図を見ると、1975年度は傾きが負の直線に沿って並び、2015年度はばらばらに散っているので、誤り。
ト 5 ......[]
(4) 4を見ると、第1次産業の就業者割合が24%のところで男性の割合が低く、第1次産業の就業者割合が6%のところで男性の割合が高く、第1次産業の就業者割合が9%12%のところで男性の割合の高い点がある。
女性の割合は逆に、24%のところで高く、6%のところで低く、9%12%のところで低い点があるはずで、そうなっているのは、
ナ 
2 ......[]



   センター数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元