共通テスト数学IA '21年第4問 

円周上に15個の点,・・・,が反時計回りに順に並んでいる。最初、点に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら石を点に移動させる。次に、5の目が出たら点にある石を点に移動させる。
(1) さいころを5回投げて、偶数の目が回、奇数の目が回出れば、点にある石を点に移動させることができる。このとき、は、不定方程式の整数解になっている。
(2) 不定方程式
 ・・・@
のすべての整数解xyは、kを整数として
と表される。@の整数解xyの中で、、を満たすものは
である。したがって、さいころを回投げて、偶数の目が回、奇数の目が回出れば、点にある石を点に移動させることができる。
(3) (2)において、さいころを回より少ない回数だけ投げて、点にある石を点に移動させることはできないだろうか。
() 石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると元の点に戻る。
()に注意すると、偶数の目が回、奇数の目が回出れば、さいころを投げる回数が回で、点にある石を点に移動させることができる。このとき、である。
(4) ,・・・,のうちから点を一つ選び、点にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点にある石を点へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回ずつ出れば、点にある石を点へ移動させることができる。したがって、点を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
,・・・,のうち、この最小回数が最も大きいのは点であり、その最小回数は回である。
の解答群
             

解答 (4)は満点を取らせないように、という趣旨なのかも知れません。14個の点全部について、反時計回り、時計回りで最小回数を調べるのではとても時間が足りません。最小回数5回の点があることは(3)まででわかるので、逆に5回以下でどの点に行けるかを調べることにします。

(1) 不定方程式の解の一つがであることは、なので、と数値代入すればすぐにわかります。
ア 2 イ 3 ......[]
(2)  ・・・@
を代入した式、の両辺に8をかけて、
 ・・・A
@−Aより、
3の倍数なので、kを整数として、とおけます。このとき、,よって、
 ・・・B
ウ 3 エ 5 ......[]
より、より、
Bに代入して、
オ 
4 カ 4 ......[]
さいころを投げる回数は、
キ 
8 ......[]
さいころを8回投げて、偶数の目が4回、奇数の目が4回出ると、から反時計回りに8進んでに来ます。
(3) から時計回りに7進むとに来ます。そこで@の右辺の8にした不定方程式を考えます。
 ・・・C
 ・・・D
C−Dより、
3の倍数なので、lを整数として、とおけます。このとき、,よって、
(2)にならって、とすると、より、
偶数の目が1回、奇数の目が4回、合わせて5回さいころを降ると、から時計回りに7進んでに来ます。
ク 
1 ケ 4 コ 5 ......[]
(4) (2)(3)と同様に、mを満たす整数として、という不定方程式を考えるのでは、とても時間内にやりきることはできません。(3)に行くのであれば最小回数が5になるので、さいころを振る回数が5以下でどの点に行けるかを調べることにします。として、の値を調べると、以下の表のようになります。
x000000111112222
y012345012340123
012345123452345
05210741
行先

この時点でだけ残るので、試験会場でにマークしても良いかも知れませんが、ここでは確かめて起きます。
不定方程式
 ・・・E
 ・・・F
E−Fより、
mを整数として、とおくと、,よって、
とすると、
さいころを
9回振って、偶数の目が5回、奇数の目が4回出ると、反時計回りに13進んでに来ます。
不定方程式
 ・・・G
 ・・・H
G−Hより、
nを整数として、とおくと、,よって、
とすると、
さいころを
6回振って、偶数の目が2回、奇数の目が4回出ると、時計回りに2進んでに来ます。
以上より、に来るためにさいころを振る最小回数は
6です。以外は最小回数は5以下なので、最小回数が最も大きいのはで、その最小回数は6
サ 3 シ 6 ......[]



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