，
，･･･，
が反時計回りに順に並んでいる。最初、点
に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点
にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら石を点
に移動させる。次に、5の目が出たら点
にある石を点
に移動させる。，，･･･，が反時計回りに順に並んでいる。最初、点に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら石を点に移動させる。次に、5の目が出たら点にある石を点に移動させる。
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
，
は、不定方程式
の整数解になっている。
･･･①
，
を満たすものは
，
回投げて、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。
回より少ない回数だけ投げて、点
にある石を点
に移動させることはできないだろうか。
回、奇数の目が
回出れば、さいころを投げる回数が
回で、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
である。
，
，･･･，
のうちから点を一つ選び、点
にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点
にある石を点
へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回ずつ出れば、点
にある石を点
へ移動させることができる。したがって、点
を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
，
，･･･，
のうち、この最小回数が最も大きいのは点
であり、その最小回数は
回である。
の解答群
の解の一つが
，
であることは、
なので、
と数値代入すればすぐにわかります。
･･･①
に
，
を代入した式、
の両辺に8をかけて、
･･･②
は3の倍数なので、kを整数として、
とおけます。このとき、
，よって、
，
･･･③
より、
，
より、
，
から反時計回りに8進んで
に来ます。
から時計回りに7進むと
に来ます。そこで①の右辺の8を
にした不定方程式を考えます。
･･･④
･･･⑤
は3の倍数なので、lを整数として、
とおけます。このとき、
，よって、
，
とすると、
，
より、
，
から時計回りに7進んで
に来ます。
を満たす整数として、
という不定方程式を考えるのでは、とても時間内にやりきることはできません。(3)で
に行くのであれば最小回数が5になるので、さいころを振る回数が5以下でどの点に行けるかを調べることにします。
として、
の値を調べると、以下の表のようになります。| x | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 3 | 4 | 5 |
 | 0 |  |  |  |  |  | 5 | 2 |  |  |  | 10 | 7 | 4 | 1 |
| 行先 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
だけ残るので、試験会場でにマークしても良いかも知れませんが、ここでは確かめて起きます。
･･･⑥
･･･⑦
とおくと、
，よって、
，
とすると、
，
，
，
に来ます。
･･･⑧
･･･⑨
とおくと、
，よって、
，
とすると、
，
，
，
に来ます。
に来るためにさいころを振る最小回数は6です。
以外は最小回数は5以下なので、最小回数が最も大きいのは
で、その最小回数は6| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2021 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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