共通テスト数学
IA '21
年第
4
問
円周上に
15
個の点
,
,・・・,
が反時計回りに順に並んでいる。最初、点
に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに
5
個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに
3
個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点
にあるとき、さいころを投げて
6
の目が出たら石を点
に移動させる。次に、
5
の目が出たら点
にある石を点
に移動させる。
(1)
さいころを
5
回投げて、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
,
は、不定方程式
の整数解になっている。
(2)
不定方程式
・・・@
のすべての整数解
x
,
y
は、
k
を整数として
,
と表される。@の整数解
x
,
y
の中で、、
を満たすものは
,
である。したがって、さいころを
回投げて、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。
(3) (2)
において、さいころを
回より少ない回数だけ投げて、点
にある石を点
に移動させることはできないだろうか。
(
*
)
石を反時計回りまたは時計回りに
15
個先の点に移動させると元の点に戻る。
(
*
)
に注意すると、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、さいころを投げる回数が
回で、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
である。
(4)
点
,
,・・・,
のうちから点を一つ選び、点
にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる最小回数を考える。例えば、さいころを
1
回だけ投げて点
にある石を点
へ移動させることはできないが、さいころを
2
回投げて偶数の目と奇数の目が
1
回ずつ出れば、点
にある石を点
へ移動させることができる。したがって、点
を選んだ場合には、この最小回数は
2
回である。
点
,
,・・・,
のうち、この最小回数が最も大きいのは点
であり、その最小回数は
回である。
の解答群
解答
(4)
は満点を取らせないように、という趣旨なのかも知れません。
14
個の点全部について、反時計回り、時計回りで最小回数を調べるのではとても時間が足りません。最小回数
5
回の点があることは
(3)
まででわかるので、逆に
5
回以下でどの点に行けるかを調べることにします。
(1)
不定方程式
の解の一つが
,
であることは、
なので、
と数値代入すればすぐにわかります。
ア
2
イ
3 ......[
答
]
(2)
・・・@
に
,
を代入した式、
の両辺に
8
をかけて、
・・・A
@−Aより、
は
3
の倍数なので、
k
を整数として、
とおけます。このとき、
,よって、
,
・・・B
ウ
3
エ
5 ......[
答
]
より、
,
より、
Bに代入して、
,
オ
4
カ
4 ......[
答
]
さいころを投げる回数は、
キ
8 ......[
答
]
さいころを
8
回投げて、偶数の目が
4
回、奇数の目が
4
回出ると、
から反時計回りに
8
進んで
に来ます。
(3)
から時計回りに
7
進むと
に来ます。そこで@の右辺の
8
を
にした不定方程式を考えます。
・・・C
・・・D
C−Dより、
は
3
の倍数なので、
l
を整数として、
とおけます。このとき、
,よって、
,
(2)
にならって、
とすると、
,
より、
,
偶数の目が
1
回、奇数の目が
4
回、合わせて
5
回さいころを降ると、
から時計回りに
7
進んで
に来ます。
ク
1
ケ
4
コ
5 ......[
答
]
(4) (2)
,
(3)
と同様に、
m
を
を満たす整数として、
という不定方程式を考えるのでは、とても時間内にやりきることはできません。
(3)
で
に行くのであれば最小回数が
5
になるので、さいころを振る回数が
5
以下でどの点に行けるかを調べることにします。
として、
の値を調べると、以下の表のようになります。
x
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
y
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
0
5
2
10
7
4
1
行先
この時点で
だけ残るので、試験会場で
にマークしても良いかも知れませんが、ここでは確かめて起きます。
不定方程式
・・・E
・・・F
E−Fより、
m
を整数として、
とおくと、
,よって、
,
とすると、
,
,
,
さいころを
9
回振って、偶数の目が
5
回、奇数の目が
4
回出ると、反時計回りに
13
進んで
に来ます。
不定方程式
・・・G
・・・H
G−Hより、
n
を整数として、
とおくと、
,よって、
,
とすると、
,
,
,
さいころを
6
回振って、偶数の目が
2
回、奇数の目が
4
回出ると、時計回りに
2
進んで
に来ます。
以上より、
に来るためにさいころを振る最小回数は
6
です。
以外は最小回数は
5
以下なので、最小回数が最も大きいのは
で、その最小回数は
6
サ
3
シ
6 ......[
答
]
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