共通テスト数学IA '21年第5問 

ABCにおいて、とする。
の二等分線と辺BCとの交点をDとすると
である。
また、の二等分線と△
ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする。△AECに着目すると、
である。
ABC2ABACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとする。円Pの半径をrとする。さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。このとき、
と表せる。したがって、方べきの定理によりである。
ABCの内心をQとする。内接円Qの半径はで、である。また、円Pと辺ABとの接点をHとすると、である。
以上から、点
Hに関する次の(a)(b)の正誤の組み合わせとして正しいものはである。
(a) H3BDQを通る円の周上にある。
(b) H3BEQを通る円の周上にある。
の解答群

(a)
(b)

解答 センター試験の平面図形の問題と変わり映えしません。途中、解答欄の形からエによってキ、ク、ス、またケは答がわかってしまいます。根号内の整数が1種類にならないように、など、出題者には、もう一段の工夫を望みたいところです。

ADの二等分線であることから、ABAC = BDDC = 35
よって、
ア 
3 イ 2 ......[]
三平方の定理より、
ウ 
3 エ 5 オ 2 ......[]
(
直径の上に立つ円周角)より、△ABD AEC ∴ ABAD = AEAC
カ 2 キ 5 ......[]
HP // BD
より、APPH = ADBD = = 1
より、
ク 
5 ......[]
Fは、円Pと外接円Oとの接点なので、FGは外接円Oの直径で、
よって、
ケ 
5 ......[]
一方、方べきの定理より、
より

よって、 ∴
コ 5 サ 4 ......[]
内接円Qの半径をRとして、
ABC = ABQ+△BCQ+△CAQ
 ∴
シ 1 ......[]
内接円Qと辺ABとの接点をKとすると、△AKQ ABD

ス 5 ......[]

セ 5 ソ 2 ......[]
従って、AHAQ = ADABより、△AHQ ADB
より、四角形BDQHは円に内接する四角形です。一方、QDEは一直線上に存在するため(円と直線が異なる3点で交わることはない)、四角形BEQHは円に内接しません。
タ 
1 ......[]


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