共通テスト数学IA '24年第3問
箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。
(1) 箱の中に
，
のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。 以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA，Bがそろっているとは、n回の試行で
，
のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。 (i) 2回の試行でA，Bがそろっている確率は
である。 (ii) 3回の試行でA，Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち
を1回、
を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると次のようになる。このように考えることにより、3回の試行でA，Bがそろっている取り出し方は
通りあることがわかる。よって、3回の試行でA，Bがそろっている確率は
である。 (iii) 4回の試行でA，Bがそろっている取り出し方は
通りある。よって、4回の試行でA，Bがそろっている確率は
である。
(2) 箱の中に
，
，
のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。 以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA，B，Cがそろうとは、n回の試行で
，
，
のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ
，
，
のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。 (i) 3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は
通りある。よって、3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率は
である。 (ii) 4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は、(1)の(ii)を振り返ることにより、
通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率は
である。 (iii) 5回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は
通りある。よって、5回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率は
である。
(3) 箱の中に
，
，
，
のカードが1枚ずつ全部で4枚入っている場合を考える。 以下では、6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろうとは、6回の試行で
，
，
，
のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ
，
，
，
のうちいずれか1枚が6回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
また、3以上5以下の自然数nに対し、6回の試行のうちn回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろうとは、6回の試行のうち1回目からn回目の試行で、
，
，
のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、
は1回も取り出されず、かつ
，
，
のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。6回の試行のうちn回目の試行で初めてB，C，Dだけがそろうなども同様に定める。
太郎さんと花子さんは、6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろう確率について考えている。
太郎：例えば、5回目までに
，
，
のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ6回目に初めて
が取り出さる場合を考えたら計算できそうだね。 花子：それなら、初めてA，B，Cだけがそろうのが、3回目のとき、4回目のとき、5回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
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解答 誘導がついているので何とかなると思いますが、昨年の確率よりも難しくなっています。
(1)(i) 2回の試行で取り出されるカードのパターンは、AA，AB，BA，BBの4パターンで、そのうち、A，BがそろうのはAB，BAの2パターン、その確率は、
ア 1 イ 2 ......[答] (ii) 
を1回、
を2回取り出す取り出し方は3通り、
を1回、
を2回取り出す取り出し方も3通り、3回の試行でA，Bがそろっている取り出し方は、
通り。 ウ 6 ......[答] 3回の試行で取り出されるカードのパターンは、A，Bの2通りから3回取るので
通り(重複順列を参照)。3回の試行でA，Bがそろっている確率は、
(iii) 4回の試行で、取り出されるカードのパターンは
通り。Aだけ取り出すのが1通り、Bだけ取り出すのが1通り、A，Bがそろっている取り出し方は、
通り。 エオ 14 ......[答] その確率は、
カ 7 キ 8 ......[答]
(2)(i) 3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は、A，B，Cの並べ方の数だけあり、
通りあります。 ク 6 ......[答] 3回の試行で取り出されるカードのパターンは、A，B，Cの3通りから3回取るので
通り。3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率は、
(ii) 4回目に初めてCが出るのは、始めの3回の試行でA，Bがそろうときなので、ウより6通り。4回目に初めてAが出るのも、4回目に初めてBが出るのも6通り、合わせて
通り、4回の試行で取り出されるカードのパターンは
通り。求める確率は、
ケ 2 コ 9 ......[答] (iii) 5回目に初めてCが出るのは、始めの4回の試行でA，Bがそろうときなので、エオより14通り。5回目に初めてAが出るのも、5回目に初めてBが出るのも14通り。合わせて
通り サシ 42 ......[答] 5回の試行で取り出されるカードのパターンは
通り。5回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率は、
(3) クより、3回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろう取り出し方は6通り、4回目、5回目の試行で取り出されるカードのパターンは
通りで、このとき6回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方は、
通り スセ 54 ......[答]
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通りであることに注意すると、「6回の試行のうち3回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めて
が取り出される」取り出し方は
通りあることがわかる。
が取り出される」取り出し方は
通りあることもわかる。
であることがわかる。
通り ソタ 54 ......[答]
通り、A，C，Dがそろうのも、A，B，Dがそろうのも、B，C，Dがそろうのも150通りで、合わせて
通り。6回の試行で取り出されるカードのパターンは
通り。6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろう確率は
チツ 75 テトナ 512 ......[答]