共通テスト数学IA '24年第5問
図1のように、平面上に5点A，B，C，D，Eがあり、線分AC，CE，EB，BD，DAによって、星形の図形ができるときを考える。線分ACとBEの交点をP，ACとBDの交点をQ，BDとCEの交点をR，ADとCEの交点をS，ADとBEの交点をTとする。
ここでは
AP：PQ：QC = 2：3：3，AT：TS：SD = 1：1：3
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
(1) △AQDと直線CEに着目すると
が成り立つので
QR：RD = 
：
となる。また、△AQDと直線BEに着目すると
QB：BD = 
：
となる。したがって
となることがわかる。
(2) 5点P，Q，R，S，Tが同一円周上にあるとし、
であるとする。 (i) 5点A，P，Q，S，Tに着目すると、AT：AS = 1：2より
となる。さらに、5点D，Q，R，S，Tに着目すると
となることがわかる。 (ii) 3点A，B，Cを通る円と点Dとの位置関係を、次の構想に基づいて調べよう。
－構想－－－－－－－－－－－－－
線分ACとBDの交点Qに着目し、
と
の大小を比べる。 －－－－－－－－－－－－－－－－
まず、
かつ
であることから 
･･･①が成り立つ。また、3点A，B，Cを通る円と直線BDとの交点のうち、Bと異なる点をXとすると
･･･②が成り立つ。①と②の左辺は同じなので、①と②の右辺を比べることにより、
が得られる。したがって、点Dは3点A，B，Cを通る円の
にある。
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
＜ 
＝ 
＞
の解答群
内部 周上 外部
(iii) 3点C，D，Eを通る円と2点A，Bとの位置関係について調べよう。
この星形の図形において、さらに
となることがわかる。したがって、点Aは3点C，D，Eを通る円の
にあり、点Bは3点C，D，Eを通る円の
にある。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 内部 周上 外部
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解答 メネラウスの定理、方べきの定理が大活躍する問題です。
(1) メネラウスの定理を適用するのですが、△ACSと△AQDが頂点Aを共有するように重なっている状況を見抜きます。Aを出発して、A→C→Q→R→D→S→Aのように回ります。メネラウスの定理より、
ア 0 ......[答]∴ 
QR：RD = 1：4 イ 1 ウ 4 ......[答]
△AQDと△BDTが頂点Dを共有するように重なっている状況を見抜きます。Dを出発して、D→B→Q→P→A→T→Dのように回ります。メネラウスの定理より、
∴ 
QB：BD = 3：8 エ 3 オ 8 ......[答]
従って、BQ：QR：RD = 3：1：4
∴ 
，
カ 5 ......[答]
，
･･･③
さらに、
とおくと
、方べきの定理より、
∴ 
，
･･･④
，
，
キク 45 ......[答] 
ケ 0 ......[答] ･･･①円周上の点A，B，C，Xについて、弦ACと弦BXの交点がQなので、方べきの定理より、
･･･② コ 1 ......[答]①，②より、
サ 0 ......[答]従って、点Dは3点A，B，Cを通る(点Xも通る)円の外部にあります。 シ 2 ......[答]
3点C，D，Eを通る円と直線ADとの交点のうちDと異なる点をYとすると、円周上の点C，D，E，Yについて、弦CEと弦DYの交点がSなので、方べきの定理より、 
(∵ 問題文)③より、
，よって、 点Aは3点C，D，Eを通る円の外部にあります。 ス 2 ......[答]
3点C，D，Eを通る円と直線BDとの交点のうちDと異なる点をZとすると、円周上の点C，D，E，Zについて、弦CEと弦DZの交点がRなので、方べきの定理より、
④より、
，また、
，よって、 点Aは3点C，D，Eを通る円の外部にあります。 セ 2 ......[答]
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