センター数学IIB '06年第2問　
aを正の実数として、，をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
　　　：
　　　：
また、との両方に接する直線をlとする。
(1) 点におけるの接線の方程式は
　　　
であり、この直線がに接するのはのときである。
したがって、直線lの方程式は
　　　
であり、lとの接点の座標は
　　　
である。
(2) との交点をPとすると、Pの座標は
　　　
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
　　　
である。直線mとy軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲はである。
　のとき、のの部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Sはaを用いて
　　　
と表される。


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解答　(1) の方程式を微分すると、
点におけるの接線の傾きは、
点におけるの接線は、
整理して、　･･･①
よって、[ア]は2，[イ]は2

①との方程式を連立すると、
整理して、　･･･②
①とが接するから、②の判別式Dは0

∴
よって、[ウ]は1

従って、lの方程式は、①において、として、　･･･③
よって、[エ]が2，[オ]が1

のとき、②は、
∴
③でとして、
よって、lとの接点の座標は、
よって、[カキ]が2a，[ク]が1，[ケコ]が4a，[サ]が1

(2) との方程式を連立すると、
より、
Pの座標は、
よって、[シ]は1

mの傾きは、③の傾きと等しく2 (2直線の平行・垂直を参照)
点Pを通る傾き2の直線として、m：
整理して、m：
よって、[ス]は2，[セ]は2，[ソ]は1

直線mとy軸との交点のy座標が正だから、
より、
よって、[タ]は1

求める面積は、
　
　
　
　
よって、[チ]は1，[ツ]は3，[テ]は2，[ナニ]は2a


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル　数学IIB」(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


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