センター試験数学IIB 2007年問題
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[1][1] 不等式
を満たすxの範囲を求めよう。ただし、とする。
,とおくと、与えられた不等式は
となる。左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
または
である。
[2] 不等式
[解答へ]
[2] として、xの関数とを
とする。
(1) 二つの関数の差は
と表され、xの方程式が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
である。
また、はのとき、最大値
をとる。 (2) (1)で得られた最大値を
と表す。をaの関数と考えるとき、はで最大値をとる。 (3) のとき、曲線と曲線の二つの交点P,Qの座標は P,Qであり、二つの曲線,で囲まれた部分の面積Sは
である。
さらに、交点Pにおける曲線の接線と曲線の接線がなす角をθ ()とすると
である。 [解答へ]
[3] 三つの数列,,がある。
(1) 数列は、初項がで、漸化式 ()を満たすとする。このとき
である。数列の初項から第n項までの和は
である。また、となる最小の自然数nはである。
(2) 第n項がで与えられる数列は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項がで与えられる数列は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このときは
と表される。
(3) 数列,,は(1),(2)を満たすとする。さらに、第n項がで与えられる数列の階差数列は、数列であるとする。このとき
であるから、(1)より
,,
である。したがって、数列,の第n項は、それぞれ
である。 [解答へ]
[4] 点Oを原点とする座標空間に4点A,B,C,Dがある。とし、線分ABをa:に内分する点をE,線分CDをa:に内分する点をFとする。
(1) はaを用いて
と表される。さらに、がに垂直であるのはのときである。 (2) とする。として、線分EFをb:に内分する点をGとすると、はbを用いて
と表される。 (3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
点Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてと表される。また、ベクトルは実数tを用いてと表される。よって
,,
である。したがって、点Hの座標は
である。また、点Hは線分BCを:1に外分する。 [解答へ]
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