センター試験数学IIB 2007年問題 


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[1][1] 不等式
   
を満たす
xの範囲を求めよう。ただし、とする。
とおくと、与えられた不等式は
   
となる。左辺の因数分解を利用して
xの範囲を求めると
    または 
である。

[2] 不等式
   
の表す領域を求めよう。

yは対数の底であるからである。真数は正であるからである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。
また、
   
であるから、与えられた不等式は
   
となる。よって、
    のとき、
    のとき、
となる。
求める領域を図示すると、次の図の影をつけた部分となる。ただし、境界
(境界線)は含まない。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
[解答へ]


[2] として、xの関数
   
   
とする。

(1) 二つの関数の差
   
と表され、
xの方程式が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
   
である。
また、のとき、最大値
   
をとる。
(2) (1)で得られた最大値を
   
と表す。
aの関数と考えるとき、で最大値をとる。
(3) のとき、曲線と曲線の二つの交点PQの座標は
   PQ
であり、二つの曲線で囲まれた部分の面積S
   
である。
さらに、交点
Pにおける曲線の接線と曲線の接線がなす角をθ ()とすると
   
である。
[解答へ]


[3] 三つの数列がある。
(1) 数列は、初項がで、漸化式
    ()
を満たすとする。このとき
   
である。数列の初項から第
n項までの和
   
である。また、となる最小の自然数
nである。

(2) n項がで与えられる数列は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項がで与えられる数列は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このとき
   
と表される。


(3) 数列(1)(2)を満たすとする。さらに、第n項がで与えられる数列の階差数列は、数列であるとする。このとき
   
であるから、
(1)より
   
である。したがって、数列の第
n項は、それぞれ
   
   
である。
[解答へ]


[4] 点Oを原点とする座標空間に4ABCDがある。とし、線分ABaに内分する点をE,線分CDaに内分する点をFとする。
(1) aを用いて
   
と表される。さらに、に垂直であるのはのときである。
(2) とする。として、線分EFbに内分する点をGとすると、bを用いて
   
と表される。
(3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてと表される。また、ベクトルは実数tを用いてと表される。よって
   
である。したがって、点
Hの座標は
   
である。また、点
Hは線分BC1に外分する。
[解答へ]



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