センター数学IIB '07年第3問
三つの数列
，
，
がある。
(1) 数列
は、初項が
で、漸化式 
(
)を満たすとする。このとき
である。数列
の初項から第n項までの和
は
である。また、
となる最小の自然数nは
である。
(2) 第n項が
で与えられる数列
は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項が
で与えられる数列
は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このとき
は 
と表される。
(3) 数列
，
，
は(1)，(2)を満たすとする。さらに、第n項が
で与えられる数列
の階差数列は、数列
であるとする。このとき 
であるから、(1)より
，
，
である。したがって、数列
，
の第n項は、それぞれ
である。
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･･･① (
)において、
，
をxに置き換え、
･･･②
①－②を作ると、
これは、
が、初項：
，公比：3の等比数列であることを意味します。
∴ 
∴ 
･･･③(ア) 3 (イウ) 30 ......[答]数列
の初項から第n項までの和
は(等比数列を参照)、
(エ) 3 (オ) 2 (カ) 3 (キ) 1 ......[答]
，
，
，
，
となる最小の自然数nは5
(ク) 5 ......[答]
･･･⑤
④×2＋⑤より、
∴ 
･･･⑥
④－⑤×2より、
∴ 
･･･⑥
⑤＋⑥より、
･･･⑦(ケ) 3 (コ) 5 (サ) 1 (シ) 5 ......[答]
これが、
に等しいので、③より、
両辺を見比べて、
∴ 
∴ 
(ス) 3 (セソタ) －15 (チ) 2 (ツテト) －50 ......[答]⑥より、
∴ 
⑦より、
∴ 
(ナ) 3 (ニ) 2 (ヌネ) 20 (ノ) 3 (ハヒ) 10 ......[答]
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