センター試験数学IIB 2010年問題
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[1][1] 連立方程式
(*) を満たす正の実数x,yを求めよう。ただし、,とする。@の両辺で2を底とする対数をとると が成り立つ。これとAより
である。
したがって、,は2次方程式 ・・・B の解である。Bの解はである。ただし、,は解答の順序を問わない。よって、連立方程式(*)の解は
またはである。 [2] の範囲で ・・・@ を満たすθ との値を求めよう。
一般に、すべてのxについて である。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 したがって、@が成り立つとき、となり、の範囲で,のとり得る値の範囲を考えれば、またはとなる。よって、@を満たすθ はまたはである。
である。の値を求めよう。@より となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここでであるから ・・・A が成り立つ。はAを満たしている。とすると、であるから となる。ここで、より である。
[解答へ]
[2] kを実数とし、座標平面上に点Pをとる。曲線
をCとする。
(1) 点Qにおける曲線Cの接線が点Pを通るとすると が成り立つ。
とおくと、関数はで極小値をとり、で極大値をとる。
したがって、点Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値がまたはのときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数はのとき本、のとき本、のとき本となる。 (2) とする。曲線 をDとする。曲線CとDの交点のx座標はとである。
の範囲において、2曲線C,Dおよび2直線,で囲まれた二つの図形の面積の和はである。 [解答へ]
[3] 自然数の列1,2,3,4,・・・ を、次のように群に分ける。
1 | 2,3,4,5 | 6,7,8,9,10,11,12 | ・・・
ここで、一般に第n群は個の項からなるものとする。第n群の最後の項をで表す。
() が成り立ち
() である。
よって、600は、第群の小さい方から番目の項である。 (2) に対し、第群の小さい方から番目の項をで表すと であり
が成り立つ。これより
() となる。
[解答へ]
[4] 二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、,である。,,とおく。
,とする。辺ABをa:の比に内分する点をX,辺BFをb:の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をαとする。
(1) ,である。ベクトルは、a,b,,を用いてと表される。 である。 (2) 直線ECと平面αが垂直に交わるとし、交点をKとする。が三角形XYZの2辺と垂直であることから、が成り立つ。 以下では、とする。このときである。を実数cを用いてと表すと、である。一方、点Kは平面α上にあるから、は実数s,tを用いて [解答へ]
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