センター数学IIB '10年第1問
[1] 連立方程式
(＊) 
を満たす正の実数x，yを求めよう。ただし、
，
とする。①の両辺で2を底とする対数をとると が成り立つ。これと②より
である。
したがって、
，
は2次方程式 
･･･③の解である。③の解は
である。ただし、
，
は解答の順序を問わない。よって、連立方程式(＊)の解は
または
である。
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解答 対数方程式に関する基本問題です。なお、対数関数を参照してください。
①の両辺で2を底とする対数をとると
これと、②より、
∴ 
(ア) 7 (イ) 1 (ウ) 2 ......[答]
従って、解と係数の関係より、
，
は2次方程式
･･･③
③の解は、
従って、
，
，または、
，
即ち、
または 
(エ) 7 (オ) 1 (カ) 2 (キ) 3 (ク) 4 (ケ) 8 (コ) 1 (サ) 6 ......[答]
注．問題文の指定より、(キ) 4 (ク) 3でも正解です。
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[2] 
の範囲で 
･･･①を満たすθ と
の値を求めよう。
一般に、すべてのxについて である。
に当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。 
したがって、①が成り立つとき、
となり、
の範囲で
，
のとり得る値の範囲を考えれば、
または
となる。よって、①を満たすθ は
または
である。
である。
の値を求めよう。①より となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここで
であるから 
･･･②が成り立つ。
は②を満たしている。
とすると、
であるから となる。ここで、
より である。
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解答 三角関数の問題ですが、問題文が錯綜しているので、読み間違いに注意しましょう。
より、一般に、すべてのxについて、
が成り立ちます。
(シ)
①が成り立つとき、
･･･③
の範囲で
，
のとり得る値の範囲は、
，
ここで、
ですが、
，
のいずれにおいても、
となるので、
・
のとき、③より、
∴ 
∴ 
(ス) 6 (セ) 1 (ソ) 0 ......[答]
(タ) 1 (チ) 2 ......[答]
(2倍角の公式を参照)と①より、
(ツ) 2 ......[答]
さらに、2倍角の公式を用いて変形すれば、
(テ) 4 (ト) 8 ......[答]
ここで、
より、
で両辺を割ることにより、
･･･②
が②を満たすので、②左辺は
で割り切れます。割り算を実行することにより、
より、
のとき
は、
を満たします。
より、
(ナ) 4 (ニ) 2 (ヌ) － (ネ) 1 (ノ) 5 (ハ) 4 ......[答]
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のとき、③より、
