センター数学IIB '10年第2問
kを実数とし、座標平面上に点P
をとる。曲線
をCとする。
(1) 点Q
における曲線Cの接線が点Pを通るとすると が成り立つ。
とおくと、関数
は
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
したがって、点Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値が
または
のときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数は
のとき
本、
のとき
本、
のとき
本となる。 (2) 
とする。曲線 をDとする。曲線CとDの交点のx座標は
と
である。
の範囲において、2曲線C，Dおよび2直線
，
で囲まれた二つの図形の面積の和は
である。
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解答 昨年まで、センター試験の数学には問題点が多い、ということを書いてきましたが、本問に、それに対する改善の姿勢が見えます。煩瑣な文字計算を必要としない、こうした教科書の例題に即した標準的な問題の方が、数学の実力を適切に測れるのではないでしょうか。
数学の基礎学力を調べる問題にオリジナリティーは不要だと思います。
(1) 
･･･① 整理して、
これが点P
を通るので、 
･･･②(ア) 2 (イ) 1 (ウ) 2 (エ) 1 (オ) 8 ......[答]
とおくと、
とすると、
，
増減表より、関数
は、
で極小値
をとり、
で極大値0をとります(3次関数の増減を参照)。(カ) 1 (キ) － (ク) 8 (ケ) 3 (コ) 0 ......[答]曲線
と直線
の共有点の数を考えることにより、tの3次方程式②：
は、 ・
のとき、1解 ・
のとき、2解 ・
のとき、3解 ・
のとき、2解 ・
のとき、1解 をもちます(微分法の方程式への応用を参照)。点Pを通る曲線Cの接線の本数は、3次方程式②の解の個数に一致するので、
接線の本数がちょうど2本となるのは、
または
のときです。
接線の本数は、
のとき1本、
のとき3本、
のとき1本です。(サ) 0 (シ) － (ス) 8 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 ......[答]
(2) 
のとき、曲線C：
･･･③ 曲線D：
･･･④
③，④を連立すると、 ∴ 
よって、曲線Cと曲線Dの交点のx座標は0と
です。(チ) 0 (ツ) 7 (テ) 3 ......[答]
の範囲において、2曲線C，Dおよび2直線
，
で囲まれた二つの図形の面積の和Sは、範囲内の
で2曲線が交わり、
において
，
において
であることを考慮して(定積分と面積を参照)、 (ト) 2 (ナ) 1 (ニ) 2 ......[答]
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