センター数学IIB '11年第3問
数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pを
で表す。
数直線上に点
，
をとる。線分
を3：1に内分する点を
とする。一般に、自然数nに対して、線分
を3：1に内分する点を
とする。点
の座標を
とする。
，
であり、
である。数列
の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数nに対して
とする。
である。したがって、
(
)であり、
(
)
，
については、当てはまるものを、次の
～
のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
次に、自然数nに対して
を求めよう。
とおくと
(
)
となる。ただし、
，
，
，
については、当てはまるものを、次の～のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
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解答 やや面倒な計算はありますが、標準的な内容なので、細心の注意を払って正解したい問題です。
，
を結ぶ線分を3：1に内分する点は、
より、
です。
(ア) 7 (イ) 4 ......[答]
(
)
は、初項1，公比
の等比数列です。
∴ 
(
)
(キ) ......[答]
階差数列の公式より、
のとき、
(ク) 9 (ケ) 5 (コ) 4 (サ)
とおくと、
･･･①
･･･②
(
)
(セ) 1 (ソ) 6 (タ) 9 (チ) 4 (ツ) (テ) 3 (ト) 4 (ナ) ......[答]
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，
(
)
(
のときも
となり、正しい結果を与えます)
