センター試験数学IIB 2012年問題
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[1][1] ,として、不等式
・・・@ を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、が成り立つ。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。
底aがを満たすとき、不等式@ ・・・A となる。ただし、については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 したがって、真数が正であることとAから、のとき、不等式@を満たすxのとり得る値の範囲はである。
同様にして、のときには、不等式@を満たすxのとり得る値の範囲はであることがわかる。
[2] として を満たすβ について考えよう。ただし、とする。
たとえば、のとき、β のとり得る値はとの二つである。
このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を,大きい方をとし が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
,をαを用いて表すと、のときは , となり、のときは , となる。
したがって、のとり得る値の範囲は である。よって、yが最大となるαの値はであり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 1 [解答へ]
[2] 座標平面上で曲線をCとし、放物線をDとする。
(1) 曲線C上の点PにおけるCの接線の方程式は である。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと
・・・@ となる。
以下、p,qは@を満たすとする。
(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Qを通るとき ・・・A が成り立つ。与えられたbに対して、Aを満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数は、で極小値をとり、で極大値をとる。
関数のグラフをかくことにより、のとき、Aを満たすaの値の個数はであることがわかる。
(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、の二つの場合である。のときの放物線を,のときの放物線をとする。,とx軸で囲まれた図形の面積はである。 [解答へ]
[3] を,である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。
であり、の公差はである。したがって
である。
次に、数列は
() ・・・@ を満たすとする。数列の一般項を求めよう。@からである。さらに、に注意して、@を利用すると
() が成り立ち、この等式は
と変形できる。ここで
() ・・・A とおくと、は、,公比がの等比数列であるから、Aにより
()
である。ただし、については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
n
[解答へ]
[4] 空間に異なる4点O,A,B,Cを,,となるようにとり、,,とおく。さらに、3点D,E,Fを、,,となるようにとり、線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし、線分ADを3:1に内分する点をNとする。
, と表される。
(2) 2直線FL,MNが交わることを確かめよう。とし、線分FLをs:に内分する点をPとする。は、sと,,を用いて と表される。のとき、となるので、M,N,Pは一直線上にある。よって、2直線FL,MNは交わることがわかる。
(3) 2直線FL,MNの交点をGとする。,は、,,を用いて と表される。
,,とする。このとき、,となる。
次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、と表す。,は、t を用いて ・・・@
・・・A と表される。
さらに、とする。このときのt の値を求めよう。,とであることから ・・・B が成り立つ。@,A,Bから、である。 [解答へ]
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