センター数学IIB '13年第1問
[1] Oを原点とする座標平面上に2点A
，B
をとり、線分ABを2：1に内分する点をP，1：2に外分する点をQとする。3点O，P，Qを通る円をCとする。 (1) Pの座標は(
，
)であり、Qの座標は(
，
)である。 (2) 円Cの方程式を次のように求めよう。線分OPの中点を通り、OPに垂直な直線の方程式は
であり、線分PQの中点を通り、PQに垂直な直線の方程式は
である。
これらの2直線の交点が円Cの中心であることから、円Cの方程式は
であることがわかる。
(3) 円Cとx軸の二つの交点のうち、点Oと異なる交点をRとすると、Rは線分OAを
：1に外分する。
[2] 連立方程式
(＊) 
を満たす実数x，y，zを求めよう。ただし、
とする。
，
，
とおくと、
により
である。(＊)から、X，Y，Zの関係式 が得られる。
この関係式を利用すると、t の3次式
は となる。したがって、
により であることがわかる。
解答 共通1次時代を含め、センター試験でいきなり出題構成を変化させたのは初めてのことです。薬学系・文系受験生の中には泣いた人もいると思われますが、意外と平均点は低くありませんでした。以前にも国語で遠藤周作の文章が出るぞと前日のうちにネット予告されたことがありましたが、事前に出題構成に変化があると漏れていたのではないかと疑わざるを得ません。
[1](1) 2点A
，B
について、線分ABを2：1に内分する点Pの座標は、
線分ABを1：2に外分する点Qの座標は、
(ア) 4 (イ) 2 (ウ) 9 (エ) － (オ) 3 ......[答] (2) 線分OPの中点
を通りOPに垂直な直線は、傾きが
なので、その方程式は、 線分PQの中点
を通りPQに垂直な直線は、傾きが
なので、その方程式は、 
･･･②(カ) － (キ) 2 (ク) 5 (ケ) 7 ......[答]①，②を連立すると、
∴ 
，
を中心とする円Cの方程式は、 原点Oを通るので、
，よって、 (コ) 4 (サ) 3 (シ) 2 (ス) 5 ......[答]
とすると、x軸との交点は、 
∴ 
原点Oと異なる点Rは、
，Rは線分OAをOR：RA = 4：1に内分します。(セ) 4 ......[答]
より、
，よって、∴ 
(ソ) 8 (タ) 4 (チ) 9 (ツ) 2 ......[答] (テ) 1 (ト) 1 (ナ) 6 ......[答]
より、
，
，
(対数関数を参照)ですが、
，
，
より、 (ニ) 2 (ヌ) － (ネ) 1 (ノ) 0 (ハ) 4 ......[答]
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