共通テスト数学IIB '21年第4問 

初項3,公差pの等差数列をとし、初項3,公比rの等比数列をとする。ただし、かつとする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
 () ・・・@
(1) prの値を求めよう。自然数nについて、はそれぞれ
 ・・・A
 ・・・B

と表される。により、すべての自然数nについて、となる。であることから、@の両辺をで割ることにより
 ・・・C
が成り立つことがわかる。CにAとBを代入すると
 ・・・D
となる。Dがすべてのnで成り立つことおよびにより、を得る。さらに、このことから、を得る。
以上から、すべての自然数
nについて、が正であることもわかる。
(2) であることから、の初項から第n項までの和は、それぞれ次の式で与えられる。

(3) 数列に対して、初項3の数列が次の満たすとする。
 () ・・・E
が正であることから、Eを変形して、を得る。
さらに、であることから、数列ことがわかる。
の解答群
 すべての項が同じ値をとる数列である
 公差が0でない等差数列である
 公比が1より大きい等比数列である
 公比が1より小さい等比数列である
 等差数列でも等比数列でもない
(4) quは定数で、とする。数列に対して、初項3の数列が次を満たすとする。
 () ・・・F
であることから、Fを変形して、を得る。したがって、数列が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、かつである。

解答 等差数列、等比数列の基本問題で悩むところはないでしょう。

 () ・・・@
(1)  () ・・・A
 ・・・B
 
()
ア 3 イ 3 ......[]
@をで割ると、
 ・・・C
ウ 2 エ 3 ......[]
CにA,Bを代入すると、

 ・・・D
オ 2 カ 6 キ 6 ......[]
Dがすべてのnで成り立つために、nの係数は0より、
 ∴
ク 3 ......[]
これより、
(2)
ケ 3 コ 2 サ 1 シ 3 ス 1 ......[]
(3)  ・・・E
より、
数列は公比が
1より小さい等比数列です。
セ 
4 ソ 3 タ 2 .......[]
(4)  () ・・・F
で割ると、より、 ∴
チ 2 ......[]
数列が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、かつ
ツ 
2 テ 0 ......[]



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