共通テスト数学IIB '21年第5問
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1) 1辺の長さが1の正五角形
を考える。 であるから
となる。したがって
が成り立つ。
に注意してこれを解くと、
を得る。 (2) 下の図のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである。
である。また
に注意すると
を得る。
次に、面
に着目すると である。さらに
が成り立つことがわかる。ゆえに
，
である。
，
の解答群(同じものを繰り返しえらんでもよい。) 最後に、面
に着目する。 であることに注意すると、4点O，
，D，
は同一平面上にあり、四角形
は
ことがわかる。
の解答群 
正方形である
正方形ではないが、長方形である
正方形ではないが、ひし形である
長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
平行四辺形ではないが、台形である
台形ではないただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
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解答 本問は、昨年「合否を分けたこの１題」(東京出版)で担当させて頂いた横浜市大の記事中で取り上げた内容です。大手予備校のHPなら、的中！と書かかれているようなことですが、関連問題も含め詳説しておりますので、ぜひ、お買い求めの上、参考にして頂ければ幸いです。
(1) 正五角形の内角は
，
より△
は二等辺三角形で、
ア 3 イ 6 ......[答]
// 
，
，
より、
ウ a ......[答] 従って、
エ a オ 1 ......[答]
，
より、
(2) 
カ 3 キ 5 ク 2 ......[答]
∴ 
ケ 1 コ 5 サ 4 ......[答]
シ 9 ス 0 ......[答]
セ 0 ......[答]
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，
となることから、
と
は平行である。ゆえに
と
は平行で、さらに、
と
も平行であることから
に着目する。
と
が平行であることから
，
，
より、四角形
は正方形です。