共通テスト数学IIB '24年第1問
[1](1) 
，
とする。関数
と
のグラフについて考えよう。 (i) 
のグラフは点
を通る。また、
のグラフは点
を通る。 (ii) 
のグラフは、kの値によらず定点
を通る。 
(iii) 
のとき、である。
，
については、最も適当なものを、右図の
～
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) 座標平面において、方程式
の表す図形を図示すると、
の
，
，
の部分となる。
(ii) 座標平面において、不等式
の表す領域を図示すると、
の斜線部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。
については、最も適当なものを、右図の～のうちから一つ選べ。
[2] 
をxの2次式とする。xの整式
を
で割ったときの商を
，余りを
とする。ただし、
と
の係数は実数であるとする。
(1) 
，
の場合を考える。
(2) 方程式
は異なる二つの解α，βをもつとする。このとき 
を
で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。
(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いて
とおける。このとき、
。したがって、余りが定数になるとき、
が成り立つ。
については、最も適当なものを、次の～
のうちから一つ選べ。 
が成り立つことから、
となることが導かれる。また、
が成り立つことから、
となることが導かれる。 
が成り立つことから、
となることが導かれる。また、
が成り立つことから、
となることが導かれる。
の解答群(ii) 逆に
が成り立つとき、余りが定数になるか調べよう。 
が2次式であるから、m，nを定数として
とおける。
を
，
，m，nを用いて表すと、
となる。この等式のxにα，βをそれぞれ代入すると
となるので、
と
より
となる。以上から余りが定数になることがわかる。
の解答群
の解答群
の解答群(i)，(ii)の考察から、方程式
が異なる二つの解α，βをもつとき、
を
で割った余りが定数になることと
であることとは同値である。
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解答 難易度としては、この程度が共通テストにふさわしいと思いますが、言葉遊びのような[チ]，[ツ]の設問は考えものです。
[1](1)(i) 
のとき
より(対数関数を参照)、
のグラフは点
を通る。 ア 3 ......[答] 
とすると、
∴ 
，
のグラフは点
を通る。 イウ 10 ......[答](ii) 
のグラフは、kの値によらず定点
を通ります。 エ 1 オ 0 ......[答] (iii) 
において、
です。(ii)も考慮して、
のグラフの概形はです。 カ 0 ......[答] 
，
より、
のグラフの概形はです。 キ 5 ......[答]
(2)(i) 
，
，
のとき、
⇔ 
ク 2 ......[答] これを表す領域はです。 ケ 2 ......[答]
[2] xの整式
を
で割ったときの商を
，余りを
とすると(多項式の除算を参照)、
(1) 
，
とすると、
コサ －2 シ 3 ......[答]割り算を実行すると、よって、
，
ス 2 セ 1 ソタ 12 ......[答]
(2) 
が二つの解α，βを持つ ⇔ 
･･･① (i) 余りが定数になるとき、
(k：定数)，つまり、 
･･･②[チ]の選択肢はどれも誤りではなく同じように見えますが、とは、②は導かれるわけではないので不適、
は、①は導かれるわけでないので不適、は、「②かつ①が成り立つことから」と言っているので、これを選びます。 チ 3 ......[答]余りが定数になるとき言えるのは、
だけです(因数定理を参照)。 ツ 1 ......[答] (ii) 
･･･③，
(m，n：定数)とおくと、 
･･･④ テ 1 ......[答]④のxにαを代入すると、
より、 ④のxにβを代入すると、
より、 よって、ト 1 ......[答]③より、
より、
ナ 3 ......[答]以上より、余りは定数です。
(3) 
，
より、
∴ 
ニヌ －6 ......[答]余りは、
ネノ 14 ......[答]
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のグラフの概形は
のグラフの概形は
，
，
とする。
について考えよう。
については、最も適当なものを、右図の
の解は
である。
，
である。
かつ
が成り立つことから、
となることが導かれる。
かつ
が成り立つことから、
となることが導かれる。
かつ 
かつ 
かつ 
かつ 
かつ 
かつ 
かつ 
，
の場合を考える。
を
で割った余りが定数になるとき、
となり、その余りは
となる。
，
，
のとき、
のとき、
，つまり、
のとき、
，つまり、
の2解は、
の値が定数となる余りです。
