共通テスト数学IIB '24年第2問　
mをを満たす定数とし、とする。また、とする。関数とのグラフの関係について考えてみよう。

(1) のとき、すなわち、のときを考える。
(i) となるxの値はである。
(ii) を計算すると、

であるから
のとき、は極大値をとり
のとき、は極小値をとることがわかる。
(iii) と一致するものとして、次の～のうち、正しいものはである。

の解答群
　
　2点，を通る直線の傾き
　2点，を通る直線の傾き
　関数のグラフ上の点における接線の傾き
　関数のグラフ上の点における接線の傾き

(2) の範囲で、関数のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を，の範囲で、関数のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をとする。このとき、，である。
となるのはのときであるから、が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである。また、が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである。

，の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　　　　　　　
　　　　　　　

の解答群
　　　　
　　　　
　　　　
　

，については、最も適当なものを、右図の～のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(3) 関数のグラフの特徴から関数のグラフの特徴を考えてみよう。
関数のグラフは直線に関して対称であるから、すべての正の実数pに対して
　･･･①
が成り立ち、とおくとであるすべての実数qに対して
　･･･②
が成り立つことがわかる。すべての実数α，βに対して
が成り立つことに注意すれば、①と②はそれぞれ

となる。
以上から、すべての正の実数pに対して、2点，を結ぶ線分の中点についての記述として、後の～のうち、最も適当なものはである。

の解答群
　m　　　　　　　　　

の解答群
　　　　p　　　
　　　　

の解答群
　　　　M　　　
　　　　　　　

の解答群
　　　　　　　
　　　　　　　

の解答群
　　　　
　　　　
　　　　

の解答群
　x座標はpの値によらず一つに定まり、y座標はpの値により変わる。
　x座標はpの値により変わり、y座標はpの値によらず一つに定まる。
　中点はpの値によらず一つに定まり、関数のグラフ上にある。
　中点はpの値によらず一つに定まり、関数のグラフ上にある。
　中点はpの値によって動くが、つねに関数のグラフ上にある。
　中点はpの値によって動くが、つねに関数のグラフ上にある。


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解答　難問ではないのですが、こうした抽象関数の問題を毛嫌いする受験生もいるので、当てずっぽうで答えた人も多かったのでは？ですが、論理的に追わなくても、グラフを描いて考えれば、解答可能です。

()　･･･③
　･･･④

(1) のとき、③は、
(i) 微分すると、，とすると、　ア 3　イ 2 ......[答]
(ii) ④は(不定積分を参照)、　ウ 9　エ 6 ......[答]
　(定積分を参照)　オ 9　カ 2　キ 6 ......[答]
　(定積分と微分を参照)
，
増減表は以下。
　x　　1　2　

＋0－0＋
2

増減表より、のとき、は極大値をとり、
のとき、は極小値2をとります。　ク 1　ケ 5　コ 2　サ 2　シ 2 ......[答]
(iii) は、におけるの接線の傾きです。　ス 3 ......[答]

(2) ③，④より、，より、はで極大値をとり、で極小値をとります。のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積は、
　セ 0 ......[答]
の範囲で、のグラフとx軸で囲まれた図形の面積は、この範囲でなので、
　ソ 5 ......[答]
④より、です。また、
即ち、，　･･･⑤
となるのは、⑤より、，よって、　タ 1 ......[答]
極小値が0になっているのグラフはです。　チ 1 ......[答]
となるのは、⑤より、，よって、，極小値が正であるのグラフはです。　ツ 2 ......[答]

(3) 2次関数のグラフは放物線で軸に関して対称です。①よりの解が，であることから、軸の位置はです。　テ 3 ......[答]
とおくと、のグラフは、軸：に関して対称なので、すべての正の実数pに対して、であって、とであることから、
　･･･①　ト 4 ......[答]
また、であるすべての実数qに対して、
　･･･②　ナ 2 ......[答]
①より、
∴ 　･･･⑥　 ニ 0 ......[答]
②より、
∴　　･･･⑦　ヌ 4 ......[答]
2点，の中点は、x座標は，y座標は、⑥より、
　(∵ ，)
②においてと見れば、⑦より、
であって、中点が上の点であることが分かります。　ネ 2 ......[答]
注．数学Ⅲの範囲になりますが、この中点は、3次関数のグラフの変曲点です。3次関数のグラフは変曲点に関して対称です。


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