　共通テスト数学IIB '24年第3問　

　共通テスト数学IIB '24年第3問　

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて問題末の正規分布表を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴れ」とする。

(1) 太郎さんは、自分が住んでいる地域において、日曜日に晴れとなる確率を考えている。

晴れの場合は1，晴れ以外の場合は0の値をとる確率変数をXと定義する。また、

である確率をpとすると、その確率分布は表1のようになる。

　　　表　1

X	0	1	計
確率		p	1

この確率変数Xの平均(期待値)をmとすると

となる。
太郎さんは、ある期間における連続したn週の日曜日の天気を、表1の確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさnの標本とみなし、それらのXを確率変数

，

，･･･，

で表すことにした。そして、その標本平均

を利用して、母平均mを推定しようと考えた。実際に

として晴れの日数を調べたところ、表2のようになった。

　　表　2

天　気	日　数
晴れ	75
晴れ以外	225
計	300

母標準偏差をσとすると、

は十分に大きいので、標本平均

は近似的に正規分布

に従う。
一般に、母標準偏差σがわからないとき、標本の大きさnが大きければ、σの代わりに標本の標準偏差Sを用いてもよいことが知られている。Sは

で計算できる。ここで、

，

，･･･，

であることに着目し、右辺を整理すると、

と表されることがわかる。
よって、表2より、大きさ

の標本から求められる母平均mに対する信頼度95%の信頼区間は

となる。

の解答群

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(2) ある期間において、「ちょうど3週続けて日曜日の天気が晴れになること」がどのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう。以下では、以下では、連続するk週の日曜日の天気について、(1)の太郎さんが考えた確率変数のうち、

，

，･･･，

を用いて調べる。ただし、kは3以上300以下の自然数とする。

，

，･･･，

の値を順に並べたときの0と1からなる列において、「ちょうど三つ続けて1が現れる部分」をAとし、Aの個数を確率変数

で表す。例えば、

とし、

，

，･･･，

の値を順に並べたとき

であったとする。この例では、下線部分はAを示しており、1が四つ以上続く部分はAとは見なさないので、

となる。

のとき、

，

のとり得る値と、それに対応した

の値を書き出すと、表3のようになる。

　　表　3


0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
1	1	0	0	0
1	0	1	0	0
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	0	1	0
0	0	1	1	0
1	1	1	0	1
1	1	0	1	0
1	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	1	1	1	0

ここで、

の期待値を求めてみよう。(1)におけるpの値を

とする。

のとき、

の期待値は

となる。

のとき、

の期待値は

となる。
4以上のkについて、kと

の関係を詳しく調べると、座標平面上の点

，

，･･･，

は一つの直線上にあることがわかる。この事実によって

となる。

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990