名大理系数学'09年前期[1]
，
とする。点A
を中心とする半径rの円が、双曲線
と2点B
，C
で接しているとする。ただし、
とする。ここで、双曲線と円が点Pで接するとは、Pが双曲線と円との共有点であり、かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。
(1) r，s，tをaとbを用いて表せ。
(2) △ABCが正三角形となるaとrが存在するようなbの値の範囲を求めよ。
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解答 bの値をいろいろと変えて、どういう双曲線のときに正三角形ができるか感じをつかんでおくと、(2)の意味がつかめるでしょう。
点A
を中心とする半径rの円：
･･･②
が①，②の共有点であることから、 
･･･③
･･･④
のときには、
･･･⑤②をxで微分すると、
のときには、
･･･⑥双曲線と円は点B
で接するので、⑤と⑥は一致します。
∴ 
双曲線は、
より、
，
の部分に存在するので
です。よって、 
･･･⑦ところで、
のとき、
と③より
ですが、
における双曲線の接線はx軸に垂直な直線
です。
における双曲線の接線はx軸に垂直な直線
です。
，
が円の接線になるとき、中心のy座標：
となってしまうため、
という条件下では、
で双曲線と円が接することはありません。
また、
のとき、円の接線はx軸に垂直になりますが、⑤より、双曲線の接線の傾きは
で、双曲線の接線はx軸に垂直ではなく、双曲線と円が接することはありません。
⑦のとき、
です。よって、 
......[答]③より、
より、
......[答]④より、
より、
......[答]
(2) △ABCが正三角形のとき、
なので、
です。よって、 
のとき左辺は0ですが右辺は正なので
です。
･･･⑧
･･･⑨逆に⑨が成り立つとき、⑧によってaを定めれば、(1)の結果を用いて、
となるようなrを得ることができます。
よって、求めるbの範囲は、 
......[答]
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，
(
)における接線の傾きは、
より、
より、
･･･①
)