名工大数学'09年前期[3]
実数xに対して
とおく。
(1) 
を求めよ。 (2) 
に対して
とおく。
の導関数を求め、
に対して等式
が成り立つことを示せ。 (3) (2)を利用して極限
を求めよ。 (4) 極限
を求めよ。
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解答 
の逆関数
がネタになっているユニークな発想の問題です。
(1) 
......[答]
(2) 
･･･① 実数xを
(
)とおきます。定積分で、
とおくと、
，t：
のとき、φ：
∴ 
として、 
･･･②両辺をxで微分すると、②を用いて、
∴ 
......[答]①両辺をxで微分すると、 ∴ 
両辺を積分すると、 
(C：積分定数) ･･･③(1)より、
また、
において
とすると、
③において、
とすると、 ∴ 
よって③より、
(3) ①において
とすると、
･･･④(2)の結果より、
......[答]
(4) (2)の結果より、
のとき、④より
となるので、
(極限の公式を参照)が使えないか、と、考えます。これで、②の利用が見えてきます。
②，④より、
のとき、
より、∴ 
......[答]
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，
のとき、
