滋賀医大数学'09年[2]
(1) 積分
を
とおいて計算せよ。 (2) 
のとき、次の不等式を証明せよ。 (3) nが2以上の自然数のとき、次の不等式を証明せよ。
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解答 (3)は一見、区分求積法にも見えますが、
となるので、左辺カッコ内のの
と
をどう扱うかが問題になってしまいます。そこで、(2)を利用することを考えます。
(1) 
より、
x：
のときθ：
(2) 
とすると、
なので、証明すべき不等式の左辺は、
となり、
，
，
，
を4頂点とする台形(右図水色着色部分)の面積
になっています。右辺は、曲線
とt 軸、さらに、t 軸上の点
，
においてt 軸と垂直な2直線によって囲まれる部分の面積
です。 ここで、
の変化を調べてみます。 
のとき、
においては、
なので、
のグラフは上に凸です(曲線の凹凸を参照)。
従って、曲線
のグラフは、
において、2点
，
を結ぶ線分よりも上にきます。よって、∴ 
(証明終) (3) 
，
より、
これと、
より、証明すべき不等式の左辺は、 と変形できます。
は、
，
，
，
を4頂点とする台形の面積です。
は、
，
，
，
を4頂点とする台形の面積です。
･･････
は、
，
，
，
を4頂点とする台形の面積です。
の場合には、証明すべき不等式の左辺は、右図黄緑色着色部分の面積になります。
のとき、(2)において
，
とすると、
より、
，
，
，
を4頂点とする台形の面積
について、 この不等式を、
について辺々加え合わせることにより、 ∴ 
(証明終)
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