岐阜薬大数学'10年[2]
一辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。
(1) 正二十面体の頂点の総数を求めよ。
(2) 正二十面体Wの1つの頂点をA，頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB，C，D，E，Fとする。
を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ。 (3) 2つの頂点D，Eからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点Aでない方をGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ。
(4) 球Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ。
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解答 空間図形の問題です。(3)で、球Sの直径がBGの長さとして求められることを指示してくれているので、何とかなるでしょう。ですが、正二十面体の図を描くことができないと厳しいかも知れません。
正二十面体を正面から見た図は、まず、六角形BFEGHIを描いてください。次に、頂点Bの回りに正三角形が5個並ぶので、Bと対向する辺AC，CI，IJ，JF，FAをつないでできる五角形ACIJFを描きます。同様にして、頂点Gを取り囲むように五角形DHKLEを描きます。最後に隣接する頂点を結んで正三角形の面を20個描きます。本問を解く場合には、右図のような図が描ければOKです。
(1) 20個の正三角形の各々が頂点を3個もつので、正三角形を切り離せば全部で
個の頂点があるはずなのですが、5個の正三角形が1個の頂点を共有するので、正二十面体の頂点は、
個 ......[答] あります。
(2) 正五角形BCDEFの内角は
です。三角形BEFは、
，
となる二等辺三角形なので、
とすると、
より、
......[答]
......[答]
(3) 正二十面体の外接球Sの中心Oは、直径BGの中点です。三角形BEGを含む平面で球Sを切ると、切り口はBGを直径、Oを中心とする円で、三角形BEGの外接円です。三角形BEGは、円の直径を斜辺とする三角形なので、
である直角三角形です。
，及び、三平方の定理より、 ∴ 
......[答]
(4) DEの中点をMとします。
注．見づらいので、図ではGをAとして描いてあります。
Oから三角形DEGに垂線ONを下ろすと、Nは三角形DEGの重心になります。
と、三平方の定理より、正三角形DEGの面積は、
三角錐ODEGの体積Vは、 
......[答]これより、1辺1の正二十面体の体積は、
とわかります。
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