熊本大医数学'10年[2]
赤球4個と白球6個の入った袋から2個の球を同時に取り出し、その中に赤球が含まれていたら、その個数だけさらに袋から球を取り出す。このとき、以下の問いに答えよ。
(問1)　取り出した赤球の総数が2である確率を求めよ。
(問2)　取り出した赤球の総数が、取り出した白球の総数を越える確率を求めよ。


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解答　確率の基本問題です。各場合で2回目に取り出す球の数が変わることに注意して計算しましょう。

(問1)　赤白合わせて10個の球から2個の球を取り出す方法は通り(組み合わせを参照)。
(i) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出す方法は、赤4個の中から赤2個を取り出すので通りあり、その確率は、
このときはさらに球を2個取り出すことになります。赤白合わせて8個の球から2個の球を取り出す方法は通り。赤球の総数が2個のときには、白球2個を取り出すことになります。その方法は、白6個の中から白2個を取り出すので通り。その確率は、
赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出し、赤球の総数が2となる確率は、
(ii) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出す方法は、赤4個の中から1個、白6個の中から1個取り出すので通りあり、その確率は、
このときはさらに球を1個取り出すことになります。赤白合わせて8個の球から1個の球を取り出す方法は通り。赤球の総数が2個のときには、この1個が赤球になります。その方法は、3個残っている赤球から1個を取り出すので通りあり、その確率は、
赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出し、赤球の総数が2となる確率は、
(iii) 赤球4個と白球6個入った袋から白球2個を取り出したときには、この後、球を取り出すことはなく、赤球の総数が2個になることはありません。
(i)〜(iii)より、取り出した赤球の総数が2となる確率は、
......[答]

(問2)　問1と同様に3通りに分けて考えます。
(i) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球2個を取り出す(確率)ときには、赤球の総数が白球総数を越えるのは、さらに取り出す2個の球が「ともに白」にはならないときで、問1(i)の余事象であって、その確率は、
(ii) 赤球4個と白球6個入った袋から赤球1個を取り出す(確率)ときには、赤球の総数が白球の総数を越えるのは、さらに取り出す1個の球が赤球のときで、問1(ii)の事象であり、その確率はです。
(iii) 赤球4個と白球6個入った袋から白球2個を取り出したときには、赤球の総数が白球の総数を超えることはありません。
(i)〜(iii)より、取り出した赤球の総数が、取り出した白球の総数を越える確率は、
......[答]


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