阪大理系数学'10年後期[4]
円Cは、2つの放物線
：
(
)と
：
(
，
)で囲まれた領域内にあり、両方の放物線と共有点をもち、さらにy軸上に中心をもつとする。このとき、以下のことを示せ。
(1) Cが
およぼ
のそれぞれと1点のみを共有するならば、
かつ
である。 (2) Cが
および
のそれぞれと2点を共有するならば、
かつ
である。
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解答 円と放物線の位置関係の問題なのですが、結局2次方程式を考えることになります。
(1) 円C、放物線
，
はy軸に関して対称なので、Cと
が共有点をもつとき
において共有点をもてば、y軸に関してその共有点と対称な点もまた共有点となり、共有点は少なくとも2個あります。Cと
も同様です。 従って、Cと
が1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点であり、放物線
の頂点
です。同様に、Cと
が1点のみを共有するのであれば、その共有点はy軸上の点で
の頂点
です。ということは、円Cは、2点
，
を直径の両端とする円で、中心
，半径
の円だということです。円Cの方程式は、 と連立すると、
がxの方程式として解を持たないか、あるいは、
が解になればよいので、
より、 
∴ 
･･･②①と、
：
を連立すると、 が解を持たないか、あるいは、
，
が解になればよいので、
より、 
∴ 
･･･③②，③より、Cが
およぼ
のそれぞれと1点のみを共有するならば、
かつ
です。
(2) (1)と同様に考えます。Cと
，
がy軸に関して対称であることから、Cと
が共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。また、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。同様にCと
が共有点を2点持つのであれば、その2点はy軸に関して対称でy座標は共通です。こちらも、2共有点は接点で、そのx座標は絶対値が等しく正負が異なります。 円Cの中心を
，半径をrとして、円Cの方程式を、 
･･･④とします。
：
と連立すると、
･･･⑤重解をもつので、判別式
について、 この条件下に⑥の重解は、
･･･⑦④と、
：
を連立すると、 
･･･⑧重解をもつので、判別式
について、 
･･･⑨この条件下に⑧の重解は、
･･･⑩⑦，⑩に文字cが入っているので、cを求めます。
⑥－⑨より、
∴ 
⑦より、 このとき、
の方程式より、 
･･･⑪⑩より、
このとき、
の方程式より、 
･･･⑫⑪，⑫より、Cが
および
のそれぞれと2点を共有するならば、
かつ
です。
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･･･①
：
のとき
です。
以外に共有点はないので、
のとき
です。
以外に共有点はないので、
以外の2解を持つために、
，
，
より、
以外の2解を持つために、
，
，
より、