北大理系数学'11年前期[5]
とする。
に対して
と定める。
(1) 
を求めよ。 (2) 
となるxの範囲を求めよ。 (3) 
の極大値および極小値を求めよ。
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解答 難問というわけではありませんが、積分範囲
が被積分関数
の微分不可能な点
を含むとき、公式を使って、
としても良いのか、という問題があります。根号を含むような関数、例えば
のような関数は、根号内が0になるところ
において微分不可能(微分・導関数を参照)なので、根号がつく関数では注意が必要です。
を考えてみます。
微分可能な関数
が
を満たし、
が
の前後で符号をプラスからマイナスに変えるとします。つまり、
において
，
，
において
だとします。
となるとき、
･･･①
となるとき、
･･･②
は、
において連続なのですが、①と②では、
の符号が異なることに注意が必要です。一般的には、積分範囲内に被積分関数の微分不可能な点がある場合、(＊)は使えません。
(1) 
の範囲で
の符号がどうなるかが問題ですが、
であれば
，
であれば
です。従って、
の範囲が
を含むとき、つまり、
のとき、
となりますが、このときは、積分区間を分けて考える必要があります(絶対値を含む定積分を参照)。(i) 
のとき、
となるので、
の範囲において、
となり、
です。よって、 (ii) 
のとき、上記より、
においては
で、
ですが、
においては
で、
です。積分区間を分けて、 ところで、
は、 (i)において、
(ii)において、
のとき、 なので、連続です。
は、 (i)において、
(ii)において、
なので、やはり連続です。つまり、
は
においても微分可能です。以上より、 
......[答]追記．公式：
を使えば、 
･･･③となります。
ですが、
のとき
のとき
(
)となるので、③を解答としてOKです。但し、上記の問題点は隠れてしまいます。
(2) (i) 
のとき、 
のとき、
と(1)の結果より、
となるのは、
のときで、
のとき、つまり、
(
)のときです。(ii) 
のとき、 
のとき、
と(1)の結果より、
となるのは、
のときで、
なので
のとき、つまり、
のときです。(i)，(ii)で
となる範囲は、境界
のところでつながっていて、
......[答]
(3) 
より、
となるので、次の増減表が得られます。 極大値：
......[答]極小値：
......[答]注意．極大は(1)(2)の(i)の範囲に、極小は(1)(2)の(ii)の範囲にあります。
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