信州大医数学'11年[2]
原点を中心とする半径1の円Sと点A
を考える。ただし、
，
とする。点Aと点B
を結ぶ直線と円Sとの交点をD，点AとC
を結ぶ直線と円Sとの交点をEとする。点Dおよび点Eからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれFおよびGとする。直線DGと直線EFの交点をMとするとき直線AMはx軸に直交することを示せ。
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解答 図形と方程式、平面ベクトル、2通りの解法で考えてみます。どちらにしても計算はかなり面倒です。
解法1
点Dのx座標をb (
)とすると、y座標は
です。
直線BDの方程式は、2点B
，D
を通ることから(直線の方程式を参照)、 
･･･①点Eのx座標をc (
)とすると、y座標は
です。
直線CEの方程式は、2点C
，E
を通ることから、 
･･･②直線DGの方程式は、2点D，G
を通る直線として、 
･･･③直線EFの方程式は、2点E，F
を通る直線として、 
･･･④①，②を連立し、交点Aのx座標は、
∴ 
･･･⑤
③，④を連立し、交点Mのx座標は、 ∴ 
･･･⑥
⑤について、右辺を有理化すると、 ⑥について、右辺を有理化すると、
よって、点Aと点Mのx座標は一致し、直線AMはx軸に垂直です。
解法2
AからBCに下ろした垂線の足をHとします。
とします。また、
，
より、
，
とします。
，
に注意します。
△ABH ∽ △CBDより、BH：AB ＝ BD：BC∴ 
△ACH ∽ △BCEより、CH：AC ＝ CE：BC∴ 
よって、BH：CH ＝ 
：
△ACD ∽ △BAEより、AD：AC ＝ AE：AB
pb：c ＝qc：b
∴ 
･･･⑦△BDF ∽ △BAHより、DF：AH ＝ BD：AB
u：1 ＝ 
：1 ∴ 
△CEG ∽ △CAHより、EG：AH ＝ CE：CA v：1 ＝ 
：1 ∴ 
∴ 
DM：MG ＝ DF：EG ＝ u：vと、
より、 よって、
です。
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