東北大理系数学'11年前期[3]
先生と3人の生徒A，B，Cがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし、サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) 2回目の操作が終わったとき、Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(3) 3回目の操作で、Cが赤玉を取り出す確率を求めよ。
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解答 簡単そうに見えますが、(2)は慎重に考える必要があります。
(1) 2回目の操作が終わったとき、Aが2個の赤玉を手に入れている、ということは、2回の操作とも、サイコロの1の目が出て、Aが赤玉を取る、ということです。1回目では、10個中3個の赤玉のいずれかを取り、玉を元に戻さないので、2回目では、9個中2個の赤玉のいずれかを取ることになります。求める確率は、 
......[答]
(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている、ということは、1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、あるいは、それ以外の場合において、2回目にサイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、ということです。
1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが箱から玉を取り出す確率は
，ここで、さらにBが赤玉を取り出す確率は、
1回目に、A，B，C誰であっても白を取り出す確率は
，ここでさらに、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中3個の赤玉のいずれかを取る確率は、
1回目に、サイコロの1または4または5または6の目が出て、AまたはCが赤玉を取り、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中2個の赤玉のいずれかを取る確率は、
求める確率は、 
......[答]
(3) 1回目、2回目で、A，B，C誰であっても、
・赤、赤と取り出すと、3回目にCが8個中1個の赤玉を取り出す確率は、
・赤、白、または、白、赤と取り出すと、3回目にCが8個中2個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
・白、白と取り出すと、3回目にCが8個中3個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
求める確率は、
......[答]注．この結果は、サイコロの4または5または6の目が出て、Cが10個中3個の赤玉のいずれかを取る確率、
に一致します。
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