一橋大学2007年前期数学入試問題
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[1] mを整数とし、
とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、
をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。 (2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式
を解け。 [解答へ]
[2] 数列
，
，
を
と順に定める。放物線
を
とする。
(1) 
はx軸と2点で交わることを示せ。 [解答へ]
[3] 放物線
(
)をCとする。C上に異なる2点P，Qをとり、そのx座標をそれぞれp，q (
)とする。
(1) 線分OQとCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の
倍であるとき、pとqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。 (2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpをqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQとCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。
[解答へ]
[4] aを定数とし、
とする。
の範囲で
の最大値が105となるようなaをすべて求めよ。
[解答へ]
[5] 1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、･･･、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をa，b，cとするとき、得点Xを次の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) a，b，cがすべて異なるとき、Xはa，b，cのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) a，b，cのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたすkに対して、
となる確率を
とする。
(1) 
をnとkで表せ。
(2) 
が最大となるkをnで表せ。
[解答へ]
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，
，
，
とx軸との交点を
，
とする。
を求めよ。