慶大理工数学'05年[A2]
点Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。
(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)。
(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標
の点か、または座標
の点のどちらかに、それぞれ
の確率で移動する。 正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)を
で表す。たとえば、
，
，
＝ カ ，
＝ キ である。すると、
は漸化式
＝ ク をみたす。したがって、
をnの式で表すと ケ となり、
＝ コ である。
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解答 (カ) 右の樹形図は、枝1本の確率はすべて
樹形図より、
......[答] (独立試行の確率を参照)
(キ) 
......[答]
(ク) 座標nの点に来るのは、座標
の点から直接nに来るか、座標
の点からnに来るかのいずれかで、この両者は排反です。座標
の点，座標
の点に来る確率はそれぞれ
，
であり、そこから各々
の確率でnに来るので、座標nに来る確率
は、 
......[答] ･･･①これは3項間漸化式です。別解 座標nの点を飛び越える(確率
)事象は、座標
の点にいる(確率
)ときに確率
で起こります。よって、 ∴ 
......[答] ･･･④
とすることもできます。これは2項間漸化式です。
(ケ) ①の特性方程式は、
∴ 
① ⇔ 
これより、数列
は、初項
，公比
の等比数列。
よって、
･･･②
① ⇔ 
よって、
･･･③
③－②より、
∴ 
......[答]別解 (ク)で④の方を解答とした場合には、
と
をαで置き換えた1次方程式、 
･･･⑤より、
④－⑤より、
は、初項：
，公比：
の等比数列で、 ∴ 
......[答]となります。
(コ) 
のとき
より、
......[答] (数列の極限を参照)
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