慶大医数学'09年[3]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また、設問(3)に答えなさい。
正方形の4つの頂点に
，
，
，
の順に反時計回りに名前をつける。
，
上には表を上にした硬貨を1枚ずつ置き、
，
上には裏を上にした硬貨を1枚ずつ置く。いま次の操作Tを何回か繰り返し行う。
操作T：4つの頂点のどれかを確率 ずつで選ぶ。選ばれた頂点を
( )とするとき、辺に沿って 上の硬貨と並んでいる
硬貨2枚のうち 上の硬貨とは逆の面を上にしたものの枚数を
kとする。次に、 上の硬貨を確率 でひっくり返し、確率
 でそのままにしておく。 |
以下、nを自然数とする。操作Tをn回繰り返し行った結果、表を上にした硬貨がちょうど1枚だけある確率を
，ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる確率を
，ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる確率を
，ちょうど3枚だけある確率を
とする。
(2) 
のとき、
，
，
，
と
，
，
，
の関係を4次の正方行列を用いて表すと、 である。これより任意のnに対して
を求めると
である。
(3) 任意のnに対して
であることを示せ。 (4) 任意のnに対して
と
を求めると、
，
である。これより、
，
である。
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解答 遷移図を書いて連立漸化式を作るタイプの確率の問題です。よく見るタイプとは言っても、一ひねり入っていて遷移図を作るだけでも非常に面倒です。
医学部の問題なのですが、出題者は医師志望者に、手間のかかる作業を正確かつ効率的に処理する能力を求めている気がします。
行列を用いて解答させる(行列の積を参照)ようになっていますが、解答の形式が行列になっている、というだけで、行列の問題としての要素はありません。
以下では、表を上にした硬貨が、ちょうど1枚だけある状態を「状態P」、ちょうど2枚だけありそれらが辺に沿って並んでいる状態を「状態Q」、ちょうど2枚だけありそれらが対角線に沿って並んでいる状態を「状態R」、ちょうど3枚だけある状態を「状態S」、4枚とも裏を上にした状態を「状態T」、4枚とも表を上にした状態を「状態U」とします。
扱う状態が問題文に出てくる状態以外にもあり(状態T，状態U)、必ずしも、
とならないので、注意が必要です。
(1) 操作Tを行って、初期状態(状態Qです)から
，
，
，
を選択したときの状況を示したものが右図です。なお、○が表を上にした硬貨、●が裏を上にした硬貨を表します。
を選択すると
となるので、
の確率で①の状態Pに移行し、
の確率で②の状態Qのままになります。
，
，
についても、同様にして考えたのが右図です。(あ) 右図で、操作Tを1回行った後に状態Pになるのは、①と③の場合で、この確率
は、 
......[答](い) 右図で、操作Tを1回行った後に状態Qになるのは、②，④，⑥，⑧の場合で、この確率
は、 
......[答](う) 右図で、操作Tを1回行った後に状態Rになる場合はなく、この確率
は、 
......[答](え) 右図で、操作Tを1回行った後に状態Sになるのは、⑤と⑦の場合で、この確率
は、 
......[答]
(2) 操作Tを
回行った状態から、n回目の操作Tを行ったときの状況を右図に示します。矢印で選択された硬貨を示しますが、1つの状態で2つの矢印がついているのは、どちらの頂点を選択しても同じ確率で同じ状態(硬貨の表裏の位置に違いはありますが)に至ることを意味します。
操作Tを
回行った状態には、状態P～状態Uの6通りの状態があり、状態P，状態Q，状態R，状態Sとなる確率は
，
，
，
です。
右図では、操作Tを
回行った後、例えば、状態Pにおいて、確率
で
か
が選択されて
となり、確率
で状態Qに移行し、確率
で状態Pのままとなります。確率
で
が選択されて
となり、確率
で状態Tに移行し、確率
で状態Pのままとなります。また、確率
で
が選択されて
となり、必ず状態Pのままになります。
操作Tを
回行った後、状態Q，状態R，状態Sにある場合も同様にして考えたのが右図です。状態T，状態Uにある場合には、必ず、n回操作後も状態T，状態Uのままになります。
右図より、操作Tをn回行った後、状態P，状態Q，状態R，状態Sとなる確率
，
，
，
は、
，
，
，
と書かれている状態の確率を加え合わせることにより、次のようになります。 以上より、(お) 
(か) 
(き) 
(く) 
(け) 0 (こ) 0 (さ) 
(し) 
......[答] (す) (う)の結果と③より、
は初項0，公比
の等比数列で、 
......[答]
(3) (す)の結果と①より、
･･･⑤(す)の結果と④より、
･･･⑥⑤－⑥より、
これと、(あ)と(え)の結果より、
は初項
，公比
の等比数列で、 ゆえに、任意のnに対して、
(4) (3)の結果、及び②より、
･･･⑦⑤×
＋⑦より、 これと、(あ)(い)の結果より、
は、初項
，公比
の等比数列。
∴ 
･･･⑧(せ) 
......[答]⑤×
＋⑦より、 これと、(あ)(い)の結果より、
は、初項
，公比
の等比数列。
∴ 
･･･⑨(そ) 
......[答]
(⑧－⑨)÷
より、 (⑧＋⑨)÷2より、
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，
，
，
である。
･･･①
･･･②
･･･③
･･･④
