慶應大学理工学部2024年数学入試問題
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[1](1) 2024の約数の中で1番大きいものは2024だが、6番目に大きいものは
である。2024の6乗根に最も近い自然数は
である。 (2) 関数
は実数全体で定義されており、
において を満たしているものとする。数列
は漸化式 を満たしているものとする。
(i) 
ならば、すべての自然数nに対して
となることを証明しなさい。 (ii) 
ならば、
の値によらず
となることを証明しなさい。 [解答へ]
[2] 3つのタイプのコインがある。タイプⅠは、両面にHが書かれている。タイプⅡは、両面にTが書かれている。タイプⅢは、片面にH，もう片面にTが書かれている。袋の中にタイプⅠのコインが1枚、タイプⅡのコインが2枚、タイプⅢのコインが3枚入っている。袋の中からコインを1枚取り出す。
(1) 取り出したコインを投げたとき、Hが出る確率は
である。 (2) 取り出したコインを投げてHが出たという条件の下で、そのコインがタイプⅢである条件付き確率は
である。 (3) 取り出したコインを2回投げたときに2回ともTが出たという条件の下で、そのコインがタイプⅡである条件付き確率は
である。 (4) 取り出したコインを2回投げたとき、その結果からコインのタイプが分かる確率は
である。 (5) nを2以上の自然数とする。取り出したコインをn回投げたとき、その結果からコインのタイプが分からない確率は
である。 [解答へ]
[3] 連続関数
は
を満たし、
で単調に減少するものとする。aを実数とし、Sを
と定める。
(1) 
と定める。Iとaを用いてSを表すと、
のとき
となり、
のとき
となる。 (2) aが
を満たしているとき、
の範囲で方程式
は解をただ1つ持つことを証明しなさい。 (3) aは
を満たしているとする。
の範囲にある方程式
の解を
とおく。このとき、aを関数
と実数t を用いて表すと
となる。また、関数
と、t に関する分数式
を用いて、
と表される。 (4) 
を(3)で定めた関数、
を
を満たす実数とする。
を満たすすべての実数xに対し
が成り立つことを証明しなさい。 (5) 
を
で
を満たす分数関数とし、
を
を満たす実数とする。
かつ
ならば、
を満たすすべての実数xに対し
が成り立つ。 (6) 
のときに、Sは最小になる。 [解答へ]
[4] 平行六面体OAGB-CDEFにおいて、
，
，
とおき、
，
，
，
，
，
とする。(1) 三角形OABの面積は
である。頂点Cから3点O，A，Bを通る平面に垂線を下ろし、この平面との交点をHとすると、
である。四面体OABCの体積は
である。
辺OAをt：
に内分する点をI，辺OBの中点をJ，辺BFの中点をKとする。ただし、
とする。
(2) 
であり、三角形IJKの面積は
である。 (3) 3点I，J，Kを通る平面が辺DEと共有点を持つのは、
のときである。 [解答へ]
[5] 複素数平面上で、原点Oを中心とする半径1の円
，および
に内接する半径r (
)の円
を考える。
上に点Pを固定し、Pの位置を表す複素数が1になるように
を配置する。時刻
から
を
に沿ってすべることなく回転させる。ただし、
と
の接点は
上を反時計回りに速さ1で移動するものとする。すなわち時刻
における
と
の接点を表す複素数は
である。(1) Pが
上に位置するような時刻
で最小のものは
である。 (2) 時刻
における
の中心を表す複素数を
，Pの位置を表す複素数を
とすると、
，
である。 (3) 時刻0から時刻
の間にPが動く道のりは
である。 [解答へ]
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の間にPが動く道のりを
とすると、
である。