京大理系数学'02年前期[2]
半径1の円周上に相異なる3点A，B，Cがある。
(1) 
ならば
は鋭角三角形であることを示せ。 (2) 
が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。
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解答 優れた解法があるようですが、思いつけた人はそれで良いですが、試験場では下記のようなものでしょう。難問です。
①両辺に
を加えると、 ∴ 
(∵ BCは円の直径2よりも小さい)同様に、
，
よって、A，B，Cすべて鋭角だから、
は鋭角三角形。
(2) 円の中心をO，
，
，
とします。
，
，
，
，
です。 (α，β，γは、三角形の内角ではなく、三角形の外心と各頂点を結ぶ線分同士のなす角であること、また、三角形が鈍角三角形の場合、α，β，γのどれかが鈍角に対する中心角になるときには、
よりも大きな角になることに注意)余弦定理より、 
･･･②
とおきます。ここで、
･･･③です。
(i) 
，つまり、
のとき、③の各辺に
(
)をかけて
を加えることにより、 
･･･④左側の等号は、
，つまり、
のときに成立。
右側の等号は、
，つまり、
のときに成立。 (ii) 
，つまり、
のとき、③の各辺に
(
)をかけて
を加えることにより、 
･･･⑤左側の等号は、
，つまり、
のときに成立。
右側の等号は、
，つまり、
のときに成立。 そこで、
とおいて、
(i)のとき、
より、
このとき、
，
④より、
ここで、
となるのは、
かつ、
，つまり、
のとき、
即ち、
のときで、このとき、
は正三角形です。
(ii)のとき、
より、
このとき、
，
⑤より、
ここで、
となるのは、
かつ、
，つまり、
のときですが、このとき、
で、
，
なので、
にはなり得ません。 以上より、
であって、等号成立は、
が正三角形のときです。
②より、
であって、等号成立は、
が正三角形のとき ......[答]
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