京大理系数学'02年前期[3]
は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式
の重複も込めた4つの解のうち、2つは整数で2つは虚数であるという。このときa，b，cの値を求めよ。
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解答 4次方程式：
の整数解をp，q，虚数解(実数係数の4次方程式なので、互いに共役になる)を
，
とします(高次方程式を参照)。
4次方程式の各項の係数を比較して、
①より、
･･･⑤
右辺は整数なので、
も整数です。
②より、
右辺は整数なので、
も整数です。
④より、
，
は1の約数であって、
より、
･･･⑥ に限られます。従って、
です。よって、
(i) 
(ii) 
の2つの場合を考えればよいことになります。
つまり
より、αは単位円上(原点を中心とする半径1の円)の点を表す複素数です。
は、αの実部
の2倍なので、
より、
但し、
のときには、
に限られてしまい、このときには
は虚数でなくなってしまいます。従って、
･･･⑦
(i) 
のとき、 ⑤より、
②，⑥より、
∴ 
③より、
⑦より、
∴ 
従って整数aは、
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
(ii) 
のとき、 ⑤より、
②，⑥より、
∴ 
③より、
⑦より、
∴ 
従って整数aは、
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
以上より、
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