京大理系数学'09年甲[1]
次の各問にそれぞれ答えよ。
問1 正の数aに対してxyz空間でO
，A
，B
，C
，D
，E
，F
，G
を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。Dを通り、3つの頂点O，E，Gを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端を含む)と点Pで交わるとき、aの値とPの座標を求めよ。 問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個、赤球が1個袋に入っていたとき、
回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただし
とする。
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解答 まずはウォーミングアップの空間ベクトルと確率の基本問題です。
問1 
･･･①よって、線分BC上の点Pの座標を
(
)とおくことができます。
題意より、直線DPは、3つの頂点O，E，Gを含む平面に垂直なので、
かつ
です。 ③より、
(
)②より、
①より、
よって、
，Pの座標
......[答]
問2 1回目、3個の球から2個の球を取り出す方法が
通り。2個の球がいずれも白球である(つまり「成功」する)のはそのうち1通りで、その確率は
，失敗する確率は
2回目、4個の球から2個の球を取り出す方法が
通り。2個の球がいずれも白球である(「成功」)のはそのうち1通りで、その確率は
，失敗する確率は
1回目に失敗して2回目に成功する確率は
のとき、
回目まで失敗が続くと、赤球の個数は
個になり、赤球、白球合わせて
個の球があります。n回目は
個の球から2個の球を取り出す方法が
通り。2個の球がいずれも白球(「成功」)であるのはそのうち1通りで、その確率は、 失敗する確率は、
以上より、
回まで失敗しn回目に成功する確率は、 
......[答]
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