京大理系数学'20年前期[1]

abは実数で、とする。zに関する方程式
・・・()
3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で、一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、ab()3つの解を求めよ。

解答 複素数平面上で正三角形の頂点となっている3次方程式の解の考え方は色々あります。ここでは、13乗根の1つ、を使って考えてみます。です。
1辺の長さがの正三角形の外接円の半径をrとすると、正弦定理より、 ∴
αとなる複素数とすると、原点を中心とする半径aの円周上に,それを原点の周りに回転した,さらに回転した3点をとると、正三角形となります。さらに、この3点を複素数平面上でβだけ平行した、が、()の相異なる3解になっているとします。
3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
@より、 ∴  ・・・C
よって、
()3解は、になります。 (**)
Aより、

 ∴  ・・・D
Bより、 ・・・E
ここで、 ・・・F は実数なので、,よって、も実数ですが、より、 ∴

Fより、なので、,Fより、aは実数なので、,Dより、
 ∴

のとき、(**)3解は、 ・・・G, ・・・H,
 ・・・I
のとき、このαは、を原点の周りに回転させた点なので、(**)3解は、はHに一致し、はIに一致し、はGに一致します。
のとき、このαは、を原点の周りに回転させた点なので、(**)3解は、はIに一致し、はGに一致し、はHに一致します。
以上より、()3解は、 ......[]



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