京大理系数学'20年前期[4]

正の整数aに対して、
(bcは整数でc3で割り切れない)
の形に書いたとき、と定める。例えば、である。
mnは整数で、次の条件を満たすとする。
(i)
(ii)
(iii) n
3で割り切れない。
このようなについて

とするとき、
の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべて求めよ。

解答 aを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
整数問題は、巧妙な解法が思い浮かべばそれで進めればよいのですが、有効な方法が思いつかないときは、シラミつぶしで行くことになります。とは言え、本問ではのすべての場合が、通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。

mnにいくつか数値代入してみると、なので、なので、とわかります。の最大値は少なくとも2以上です。 ・・・@
m3で割り商がk (),余りがとして、つまり、として、
9で割った余りがであることと@とから、9で割った余りを考えることにします。
(1) のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(2) とおくと、問題文の条件(iii)より、
(mod. 9)のとき、 (mod. 9) (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(mod. 9)のとき、 (mod. 9)のとき、 (mod. 9)
(1)(2)の組み合わせで、9で割り切れる可能性があるのは、かつ (mod. 9)の場合だけです。
以下、とします。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、の場合です。
のとき、
3で割り切れません。このとき、
のとき、 ・・・A
の中で、
3で割り切れるのは、(つまり、)のときで、Aより、
のとき、
3で割り切れません。
のとき、
3で割り切れません。
以上より、の最大値は
4,そのときの ......[]



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