京大理系数学'20年前期[5]

4個、横4個のマス目のそれぞれに1234の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。
1234
3412
4123
2341

解答 対称性を考慮して場合の数を数えます。
(i) まず、1行目の4文字の入れ方は、異なる4個のものの順列となり、通り。 ・・・@

1234の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この24通りの各1通りについて、2行目以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。そこで、24通りのうちの1通り、1行目に例えば、1234と入れた場合を考えます。
(ii) 2行目は、1列目には1を入れることができないので、1を入れる位置は、2列目、3列目、4列目の3通りあります。 ・・・A
234の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この3通りの各1通りについて、1を入れた以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。
そこで、
2行目の2列目に1を入れた場合を考えます。
2行目に2を入れる位置は、1列目、3列目、4列目の3通りありますが、この3通りについては、1行目の1の下の1列目と、1行目の34の下の3列目と4列目とでは、違いがあります。1はすでに2行目2列目に入っていますが、34はまだ2行目に入っていないからです。そこで、2行目に2を入れる位置について、1列目に入れる場合と、3列目4列目に入れる場合とで別に考えます。
(iii) まず、1行目の1の下の2行目1列目に2を入れると、1行目の4の下の2行目4列目には4を入れることができないので、2行目は下図のように、ただ1通りに確定します。
1234
2143








3行目の入れ方は、1234の入れ替えにより、次の4通りに限られ、それに応じて、4行目も確定します。 ・・・B
1234
2143
3412
4321
1234
2143
4312
3421
1234
2143
3421
4312
1234
2143
4321
3412
(iv) 1行目の34の下、2行目の3列目に2を入れる場合と、4列目に2を入れる場合とは、34を入れ替えて考えるときの対称性より、同数ずつあります。そこで、23列目に入れた場合を考えます。1行目の4の下にの2行目4列目には4は入らないので、2行目はただ1通りに確定し、これ以降、3行目に、13列目に入るか4列目に入るかによって以下の2通りあります。 ・・・C
1234
4123
3412
2341
1234
4123
2341
3412

(iii)で、Bより、2行目1列目に2を入れるときが4通り、Cより、2行目3列目、4列目に2を入れるときがそれぞれ2通り、合わせて、2行目の2の入れ方により、通りあります。
Aより、
2行目の1の入れ方が3通り、この3通りの各1通りについて以降が8通りあるので、2行目以降、通りあります。
@より、
1行目の数字の並び方は24通りあり、この各1通りについて2行目以降が24通りあるので、数字の入れ方は、通り ......[]



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