京大理系数学'20年前期[6]

xyzを座標とする空間において、xz平面内の曲線
()
z軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする。このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき、Sが通過した部分よりなる立体をVとする。このとき、Vの体積を求めよ。

解答 変なものを回転させる問題では断面を考えます、どんな立体になるのだろうと思ってしまうと難問になってしまいます。そもそも、のグラフからして、どんなグラフになるのかはっきりしません。のグラフ(対数関数を参照)も、のグラフ(無理関数を参照)も、単調増加で上に凸なグラフなので、多分、合成関数ののグラフ(本問の曲線は、yでなくてzですが)も、単調増加で上に凸なグラフだろう、くらいで話を進めます。

において、は、 ・・・@
曲線
()z軸のまわりに1回転させるとき、Sz軸に垂直な断面は、z軸上の点を中心とする円になります。z座標がzのところでは、円の半径(曲線上の点とz軸との距離)は、より、となります。
z座標がzのところまで、xy平面を移動させると、円の方程式は、 ・・・A
@の
zの範囲で、zの最小値のところでは、Aの円は1のみになり、zの最大値のところでは、Aの円は ・・・B となります。
Sを平面 ()で切った断面は右図黄緑色部分のようになり、Sx軸のまわりに回転させたとき、回転軸x軸に最も近い点は、元々の曲線上の点Pです。この点とx軸との距離の2乗は,回転軸x軸から最も遠い点は、Bでとして、より、円B上の点Qです(図では、複合が+の方をQと書いています)。この点とx軸との距離の2乗は、
断面は、面積の外側の円から、面積の内側の円を除いた図形となり、断面積は、

立体Vの体積(立体の体積を参照)、立体Vyz平面に関して対称であることに注意して、
 (不定積分の公式を参照)

......[]
注.Aは曲面Sの方程式です。



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