京大理系数学'96年前期[5]
xy平面上の正三角形△ABCを考える。△ABCの重心は原点Oにあり、ベクトル
の長さは1とする。△ABCの内部または辺上の点
に対し、3頂点A，B，Cから1点を等確率
で選び、この頂点と
の中点を
とする。次に点
に対して同様の操作を行い得られた点を
とし、以下この操作を繰り返して、点
，
，･･･，
を作る。ベクトル
の長さの2乗
の期待値を
とおく。
(1) 
をベクトル
の長さを用いて表せ。 (2) 選んだ頂点が
，
，･･･，
のとき、ベクトル
をベクトル
と
，
を用いて表せ。 (3) 
が原点Oのとき
を求めよ。
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解答 現行数学Ａの確率では範囲外になっていますが、「和の期待値は期待値の和」という技巧が功を奏する問題です。
まず、「和の期待値は期待値の和」を証明しておきます。
変数Xがn通りの値
(
)をとり、変数Yがm通りの値
(
)をとるとします。
また、事象
が起こる確率
，事象
が起こる確率
とします。
X，Yの期待値
，
は、
，
の期待値を考えてみます。
のとりうる値は、
(
，
)です。
事象
となる確率
は、
となるi，jのすべての組み合わせについて、
を加え合わせたものです。この和を
と書くことにします。i，jが、
，
を動くとき、
がとり得る値を
，
，･･･，
(互いに相異なる)とします。
(
，
)として、事象
と，事象
とは、排反です。従って、
の期待値
を求めるために、
のとりうる値すべてについて
の和をとると、
(
がとりうる値すべてにわたって和をとると、Xのとりうる値、Yのとりうる値のすべてにわたって和をとることになります。しかも、排反なので、重複はできません)
これを繰り返し使えば、n個の変数がある場合でも、
，
，･･･，
を定数として、
･･･(＊)
本問に戻ります。
題意より、
(1) 3頂点A，B，Cから1点を選ぶとき、
(i) Aを選ぶと、
(∵ ②)(ii) Bを選ぶと、
(∵ ②) (iii) Cを選ぶと、
(∵ ②)よって、
......[答] (∵ ①)
(2) 
･･････
として、
よって、帰納的に、
......[答]
(3) (2)の結果において、
が原点Oのとき、
より、 
(ここで、
は、kを、jを除いて1からnまで動かしたときの和を表すことにします)
ここで、上記の(＊)を使います。「和の期待値は期待値の和」より、
の期待値を
，
の期待値を
として、 
･･･③
(∵ ①)
は、
が
の確率で
，
，
をとり、これと独立に、
が
の確率で
，
，
をとることから、よって、③より、
......[答]
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(
です)
は、
が
の確率で
，
，
をとることから、
(∵ ①，
)
