東工大数学'21年前期[1]

正の整数に関する条件
() 10進法で表したときに、どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) kを正の整数とするとき、以上かつ未満であって条件()を満たす正の整数の個数をとする。このとき、kの式で表せ。
(2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、すべての正の整数kに対して次の不等式が成り立つことを示せ。

解答 (1)(2)のヒントになっています。細かく考え込まずに、軽く流す感じで行きましょう。

(1) くらいで具体的に考えてみます。を満たす整数nは、3桁の整数で、どの位にも数字9が現れないのは、の位が188通り、の位が089通り,10の位が089通りで、()を満たす整数は、個あります。
,かつ、条件()を満たす正の整数nは、の位の数字が188通り、の位からの位までの桁の数字について089通りずつあるので、 .....[]
(2) (1)の考え方を使って、の範囲の和を、,・・・,,・・・,に分けて考えます。即ち、
 ・・・@
として、,かつ、条件()を満たす個の整数nについて、より、,よって、
よって、@より、



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